Rozwiązać równania wielomianowe. Brak pierwiarska całk.

[Terrryy]

Mam 2 takie zadania, teoretycznie proste, jednak nie wiem jak je ruszyć do przodu:

1. \(\displaystyle{ x^{3} + x + 1 = 0}\) brak pierwiastka całkowitego i zupełnie nie wiem jak można by to rozdzielić na kawałki, wyciągając coś przed nawias.

2. \(\displaystyle{ (x+x)^{4} -1 = 0}\) tutaj wymyśliłem, aby zastosować wzór na różnice kwadratów, jadę z zadaniem i w pewnym momencie dochodzę do dość podobnego równania, co w pierwszym zadaniu, ponadto podstawiając pierwiastek, który wyszedł po drodze do głównego równania wychodzi sprzeczność, więc nie wiem czy słusznie zastosowałem wzór skróconego mnożenia.

[Vax]

W 1 możesz spróbować ze wzorów Cardano, może coś dadzą.

2) \(\displaystyle{ (2x)^4-1 =(4x^2)^2-1 = (4x^2+1)(4x^2-1) = 4(4x^2+1)(x^2-\frac{1}{4})}\)

1 czynnik będzie zawsze dodatni, 2 przyrównujemy do 0:

\(\displaystyle{ x^2-\frac{1}{4} = 0 \Leftrightarrow (x+\frac{1}{2})(x-\frac{1}{2})=0}\)

\(\displaystyle{ x\in \lbrace -\frac{1}{2} ; \frac{1}{2} \rbrace}\)

Pozdrawiam.

[Terrryy]

Dzięki za pomoc. Tylko, że gdy rozwiązałeś mi ten drugi przykład zauważyłem, że źle zapisałem równanie. Zapomniałem, że pierwszy x w nawiasie jest podniesiony do kwadratu:

\(\displaystyle{ (x ^{2} +x)^{4} -1 = 0}\)

Czyli przez moją głupotę pomoc mi się nie przydała, ale i tak dzięki za chęci ;]

[Vax]

Nie ma problemu:

\(\displaystyle{ (x^2+x)^4-1 = 0 \Leftrightarrow [(x^2+x)^2]^2 - 1 = 0 \Leftrightarrow [(x^2+x)^2-1][(x^2+x)^2+1] = 0 \Leftrightarrow (x^2+x+1)(x^2+x-1)[(x^2+x)^2+1] = 0}\)

1 i 3 czynnik będzie zawsze dodatni z drugiego wyliczamy i wychodzi nam:

\(\displaystyle{ x\in \left\lbrace \frac{-1-\sqrt{5}}{2} ; \frac{-1+\sqrt{5}}{2} \right\rbrace}\)


Pozdrawiam.