Pierwiastki i zapis iloczynowy wielomianu.

[Buddha_Style]

Hej. Robiąc zadanka z mojego zbioru zadań natknąłem się na zadania, których nijak nie mogę ruszyć.
Proszę o jakieś podpowiedzi, jak zadanie ugryźć.

1. Równanie \(\displaystyle{ 2x^{3}-11x^{2}+17x-6=0}\)

a) ma co najwyżej dwa pierwiastki całkowite.
b) ma zapis iloczynowy, w którym występuje czynnik \(\displaystyle{ (x-\frac{1}{2})}\)
c) ma trzy różne pierwiastki
d) ma takie trzy pierwiastki a, b, c, że jeśli c< b< a, to \(\displaystyle{ log _{a} \frac{1}{3}+log _{b}\frac{1}{2}+log _{c} 2=-3}\)

Nie mam pojęcia jak do tego podejść, nawet na głupią postać iloczynową nie mogę tego sprowadzić. No i jeszcze nie wiem, jak się sprawdza ilość pierwiastków całkowitych (tzn. domyślam się, że może trzeba wyliczyć wszystki pierwiastki, i wówczas zobaczyć ilość całkowitych).

Acha, zaznaczam, że tu może być więcej, niż jedna dobra odp.

Pozdrawiam

EDIT: wniosłem poprawkę, o której piszę w następnym swoim poście.

[rtuszyns]

Jak dla mnie po prostu rozwiązać równanie i sprawdzić przypadki...

[Buddha_Style]

Hmmm... oczywiście pomyliłem się, jeżeli chodzi o równanie, po 17x powinno być jeszcze -6

Czyli
\(\displaystyle{ 2x ^{3}-11x ^{2}+17x-6= 0}\)

Właśnie przez tą szóstkę rozwiązanie tego równania sprawia mi kłopot. Bo o ile wcześniej (bez tej szóstki) wystarczyłoby wyciągnąć x przed nawias, tak teraz taki zabieg nic nie da. W ogóle współczynniki są jakieś dziwne. Nie mam zupełnie pomysłu co z tym zrobić.

Pozdrawiam i sory za pomyłkę

[Mariusz M]

Buddha_Style,

Podstaw \(\displaystyle{ x=u+v+\frac{11}{6}}\)

to co dostaniesz pogrupuj tak aby przypominało Tobie wzory Viete'a
równania kwadratowego

Możesz też zacząć od b)
tj sprawdzić czy \(\displaystyle{ W\left( \frac{1}{2} \right)=0}\)

Gdy okaże się że b) jest prawdziwe możesz skorzystać z twierdzenia Bezout

W ogólnym przypadku pierwiastki równania trzeciego stopnia

\(\displaystyle{ a_{3}x^3+a_{2}x^2+a_{1}x+a_{0}=0}\)

znajdujesz w ten sposób

a) podstawiasz \(\displaystyle{ x=u+v- \frac{a_{2}}{3a_{3}}}\)
b) to co dostaniesz grupujesz tak aby otrzymać wzory Viete'a
równania kwadratowego
c) Na podstawie wzorów Viete'a układasz równanie kwadratowe
którego pierwiastkami są \(\displaystyle{ u^{3} \text{ oraz } v^3}\)
d) Jeden pierwiastek masz wprost z podstawienia
pozostałe dwa znajdujesz korzystając z
zespolonych pierwiastków trzeciego stopnia z jedynki lub z
twierdzenia Bezout i rozwiązania kolejnego równania kwadratowego