dla jakich p i q wielomian ma trzy pierwiastki
dla jakich p i q wielomian ma trzy pierwiastki
Dla jakich p i q równanie \(\displaystyle{ x^{3} + px + q = 0}\) ma trzy pierwiastki \(\displaystyle{ x_{1}, x _{2}, x _{3}}\) takie, że \(\displaystyle{ x_{1} = x _{2}= x _{3} + 6}\)
dla jakich p i q wielomian ma trzy pierwiastki
próbowałem, ale nic mi nie wyszło.. można prosić o podanie postaci iloczynowej ?
dla jakich p i q wielomian ma trzy pierwiastki
hmm to tak też robiłem ale czy później należy pomnożyć wszystko przez wszystko ? bo tak robię i później nie wiem co dalej ?
- Althorion
- Użytkownik
- Posty: 4541
- Rejestracja: 5 kwie 2009, o 18:54
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 662 razy
dla jakich p i q wielomian ma trzy pierwiastki
Tak, potem należy wszystko wymnożyć. Potem zaś porównać odp. współczynniki przy potęgach niewiadomej, tzn. przy \(\displaystyle{ x^3}\) ma stać to, co na początku, czyli \(\displaystyle{ 1}\), przy \(\displaystyle{ x^2}\) - 0, przy \(\displaystyle{ x}\) - \(\displaystyle{ p}\), zaś wyraz wolny ma być równy \(\displaystyle{ q}\).
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6908
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
dla jakich p i q wielomian ma trzy pierwiastki
No nie potrzeba wymnażać można skorzystać z wzorów Viete'aAlthorion pisze:Tak, potem należy wszystko wymnożyć. Potem zaś porównać odp. współczynniki przy potęgach niewiadomej, tzn. przy \(\displaystyle{ x^3}\) ma stać to, co na początku, czyli \(\displaystyle{ 1}\), przy \(\displaystyle{ x^2}\) - 0, przy \(\displaystyle{ x}\) - \(\displaystyle{ p}\), zaś wyraz wolny ma być równy \(\displaystyle{ q}\).
Chociaż z drugiej strony wzory Viete'a to sposób na szybkie wymnożenie tego
Wzory Viete'a
\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}=- \frac{a_{2}}{a_{3}} \\ x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}= \frac{a_{1}}{a_{3}}\\x_{1}x_{2}x_{3}=- \frac{a_{0}}{a_{3}} \end{cases}}\)
Ze wzoru Viete'a na sumę obliczasz pierwiastki
\(\displaystyle{ x_{3}+6+x_{3}+6+x_{3}=0\\
3x_{3}+12=0\\
3x_{3}=-12\\
x_{3}=-4\\
x_{2}=2\\
x_{1}=2}\)
\(\displaystyle{ 4-8-8=p\\
4-16=p\\
p=-12\\
2 \cdot 2 \cdot \left( -4\right)=-q\\
-16=-q\\
q=16}\)
Zatem nasz wielomian ma postać
\(\displaystyle{ x^{3}-12x+16}\)