dla jakich p i q wielomian ma trzy pierwiastki

[Bazoski]

Dla jakich p i q równanie \(\displaystyle{ x^{3} + px + q = 0}\) ma trzy pierwiastki \(\displaystyle{ x_{1}, x _{2}, x _{3}}\) takie, że \(\displaystyle{ x_{1} = x _{2}= x _{3} + 6}\)

[Althorion]

Podpowiedź:
Skorzystaj z postaci iloczynowej.

[Bazoski]

próbowałem, ale nic mi nie wyszło.. można prosić o podanie postaci iloczynowej ?

[Althorion]

Oczywiście:
\(\displaystyle{ f(x) = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) = (x-x_1)^2(x-x_1+6)}\)

[Bazoski]

hmm to tak też robiłem ale czy później należy pomnożyć wszystko przez wszystko ? bo tak robię i później nie wiem co dalej ?

[Althorion]

Tak, potem należy wszystko wymnożyć. Potem zaś porównać odp. współczynniki przy potęgach niewiadomej, tzn. przy \(\displaystyle{ x^3}\) ma stać to, co na początku, czyli \(\displaystyle{ 1}\), przy \(\displaystyle{ x^2}\) - 0, przy \(\displaystyle{ x}\) - \(\displaystyle{ p}\), zaś wyraz wolny ma być równy \(\displaystyle{ q}\).

[Mariusz M]

Tak, potem należy wszystko wymnożyć. Potem zaś porównać odp. współczynniki przy potęgach niewiadomej, tzn. przy \(\displaystyle{ x^3}\) ma stać to, co na początku, czyli \(\displaystyle{ 1}\), przy \(\displaystyle{ x^2}\) - 0, przy \(\displaystyle{ x}\) - \(\displaystyle{ p}\), zaś wyraz wolny ma być równy \(\displaystyle{ q}\).

No nie potrzeba wymnażać można skorzystać z wzorów Viete'a
Chociaż z drugiej strony wzory Viete'a to sposób na szybkie wymnożenie tego

Wzory Viete'a

\(\displaystyle{ \begin{cases} x_{1}+x_{2}+x_{3}=- \frac{a_{2}}{a_{3}} \\ x_{1}x_{2}+x_{1}x_{3}+x_{2}x_{3}= \frac{a_{1}}{a_{3}}\\x_{1}x_{2}x_{3}=- \frac{a_{0}}{a_{3}} \end{cases}}\)

Ze wzoru Viete'a na sumę obliczasz pierwiastki

\(\displaystyle{ x_{3}+6+x_{3}+6+x_{3}=0\\
3x_{3}+12=0\\
3x_{3}=-12\\
x_{3}=-4\\
x_{2}=2\\
x_{1}=2}\)

\(\displaystyle{ 4-8-8=p\\
4-16=p\\
p=-12\\
2 \cdot 2 \cdot \left( -4\right)=-q\\
-16=-q\\
q=16}\)

Zatem nasz wielomian ma postać

\(\displaystyle{ x^{3}-12x+16}\)