Rozwiązania całkowite

[mariaPCD]

Dla jakich wartości \(\displaystyle{ n}\) równanie \(\displaystyle{ x ^{n} + x + 2 = 0}\) ma rozwiązania całkowite? Znajdź te rozwiązania

[TheBill]

Kiedy wielomian ma pierwiastki całkowite? (tw. o pierwiastkach wymiernych wielomianu)

[mariaPCD]

Rozwiązaniem równania jest dzielnik lub dzielniki wyrazu wolnego w tym wypadku 2 . I co dalej?

[TheBill]

Tak, czyli szukasz takiego "n", dla którego to równanie ma pierwiastek 1, -1, 2 lub -2.

Sprawdzamy jedynkę:
\(\displaystyle{ 1^n+1+2=0}\)
brak rozwiązań

itd...

PS: W treści nie ma jednoznacznie powiedziane, że n jest naturalne, ale dałaś to do działu wielomiany, więc wydaje mi się, że tylko naturalne trzeba rozważać.

[mariaPCD]

Wiem jak to rozpisać ale jak znaleźć wartość "n"?

[TheBill]

Sprawdzamy jedynkę:
\(\displaystyle{ 1^n+1+2=0}\)
brak rozwiązań

Sprawdzamy \(\displaystyle{ -1}\)
\(\displaystyle{ (-1)^n-1+2=0}\)
\(\displaystyle{ (-1)^n=-1}\)
Zatem dla wszystkich liczb n - nieparzystych, równanie \(\displaystyle{ x^n+x+2=0}\) będzie miało całkowite rozwiązanie.

Spróbuj sama dla \(\displaystyle{ 2}\) i \(\displaystyle{ -2}\)

[mariaPCD]

\(\displaystyle{ 2 ^{n} +2+2 = 0

2 ^{n} = -4

2 ^{n} \neq 0

a dla x=-2

(-2) ^{n} - 2+2=0

(-2) ^{n} = 0}\)
tak?

[TheBill]

Tak, czyli ostatecznym rozwiązaniem są wszystkie liczby nieparzyste.
Ale rozwiązywaliśmy to tylko gdy \(\displaystyle{ n \in \mathbb {C}}\), jeżeli chodzi i liczby wymierne, proszę o wypowiedzenie się kogoś mądrzejszego