Liczba całkowita spełniajaca równanie i jego rozwiązania

[adaxada]

Znajdź liczbę całkowitą spełniającą równanie \(\displaystyle{ 2x ^{4}-x ^{3}-13x ^{2}+5x+15=0}\) , a następnie znajdź pozostałe rozwiązania tego równania

[TheBill]

Skorzystaj z tw. o pierwiastkach wymiernych wielomianu.

[adaxada]

Zrobiłam tak i za pierwiastek wzięłam \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) i mi wyszło W(x)=\(\displaystyle{ (2x ^{3}+2x ^{2}-10x-10)(x- \frac{3}{2})}\) ale nie mogę znaleźć następnego pierwiastka

[TheBill]

Najpierw trzeba było znaleźć tą całkowite rozwiązanie, a potem resztę, ale też tak można =]
Sprawdź \(\displaystyle{ -1}\).

[adaxada]

Zrobiłam tak jak pisałeś i mi wyszło:
\(\displaystyle{ W(x)=(2x ^{2}-10x)(x- 1)(x- \frac{3}{2})}\)- nie wiem czy to jest dobrze
i nie wiem jak to dalej zrobić, bo w odpowiedziach jest,że są jeszcze takie pierwiastki: sqrt{5} i - sqrt{5} tylko że z tw. o pierwiastkach wymiernych tak nie wychodzi. Pomożesz ?

[TheBill]

Trochę źle Pierwiastkiem równania \(\displaystyle{ 2x ^{3}+2x ^{2}-10x-10=0}\) jest \(\displaystyle{ -1}\), więc musisz podzielić ten wielomian przez \(\displaystyle{ x-(-1)=x+1}\).
Wychodzi nam takie coś:
\(\displaystyle{ W(x)=2x ^{4}-x ^{3}-13x ^{2}+5x+15=(2x ^{3}+2x ^{2}-10x-10)(x- \frac{3}{2}) = (2x^2-10)(x+1)(x- \frac{3}{2}) = 2 (x^2-5)(x+1)(x- \frac{3}{2})}\)

Z pierwszego nawiasu masz pozostałe pierwiastki =]

Jeżeli pogubiłaś się w dzieleniu przez dwumian \(\displaystyle{ (x+1)}\), to można ten wielomian pogrupować, tzn:

\(\displaystyle{ W(x)=2x ^{4}-x ^{3}-13x ^{2}+5x+15=(2x ^{3}+2x ^{2}-10x-10)(x- \frac{3}{2}) = 2(x ^{3}+x ^{2}-5x-5)(x- \frac{3}{2}) = 2(x ^{2}(x+1)-5(x+1))(x- \frac{3}{2}) = 2(x ^{2}-5)(x+1)(x- \frac{3}{2})}\)