Wykaż ,że wielomian ma 3 różne pierwiastki.

jetros · Post autor: **jetros** » 18 paź 2010, o 20:08

Wykaż ,że wielomian ma 3 różne pierwiastki:

\(\displaystyle{ x ^{99}+ax+b}\)

Czy może ktoś pomóc?

Mortify · Post autor: **Mortify** » 18 paź 2010, o 20:16

dla \(\displaystyle{ a=b=0}\)mamy jeden pierwiastek w liczbach rzeczywistych.

anna_ · Post autor: **anna_** » 18 paź 2010, o 20:19

Według wolframalpha, dla \(\displaystyle{ a=b=1}\)też jest tylko jeden rzeczywisty.

jetros · Post autor: **jetros** » 18 paź 2010, o 20:37

rozumiem, ale jak to w sposób logiczny udowodnić.
Na razie wasze podpowiedzi nie wiele mi dają.

anna_ · Post autor: **anna_** » 18 paź 2010, o 20:38

Ale ten wielomian nie ma trzech różnych pierwiastków

jetros · Post autor: **jetros** » 18 paź 2010, o 20:44

nmn pisze:Ale ten wielomian nie ma trzech różnych pierwiastków

Droga nmn a jak tego dowiodłaś?

skąd wiesz ,że a=b=1 czy a=b=0 ?

anna_ · Post autor: **anna_** » 18 paź 2010, o 20:57

nmn pisze:Według wolframalpha, dla \(\displaystyle{ a=b=1}\)też jest tylko jeden rzeczywisty.

przecież a i b są dowolne, więc mogą równie dobrze być równe 1

Mortify · Post autor: **Mortify** » 18 paź 2010, o 21:06

Skoro ma to zachodzić dla dowolnych a i b, to w szczególności ma też zachodzić dla tych co wskazaliśmy. Ale dla tych wartości Twoja hipoteza jest nieprawdziwa, więc nie ma co tu dowodzić. (wykazaliśmy wręcz przeciwnie - że jest nieprawdziwa przez podanie kontrprzykładu)

jetros · Post autor: **jetros** » 18 paź 2010, o 21:13

kurcze nie rozumiem(jakieś zaćmienie mózgu mnie ogarnia )
wiemy ,że np.
a=1 i b=1
a \(\displaystyle{ \cdot}\) x =1 więc
\(\displaystyle{ W(x)=x ^{99}+x+1}\)

I następnie jak to dalej zrozumieć?

anna_ · Post autor: **anna_** » 18 paź 2010, o 21:15

Dalej to ja wrzuciłam do wolframalpha czyli tutaj:

Kod: Zaznacz cały

http://www.wolframalpha.com/input/?i=log%282%2C%28-%28x-2%29%29%29

i pokazało mi, że jest tylko jeden pierwiastek rzeczywisty.
Więc nie da się udowodnić, że dla dowolnych a i b wielomian ma trzy pierwiastki rzeczywiste.

jetros · Post autor: **jetros** » 18 paź 2010, o 21:27

a jak bezwolframa udowodnić dla tego wielomianu ilość pierwiastków.
Bo na razie rozumiem ,że wybieramy sobie liczbe np. 1.
Podstawiamy i mamy w/w wielomian.
Ale co np jak damy 2?
\(\displaystyle{ w(x)=x^{99}+2x+2}\)

Jak sprawdzić tą ilość pierwiastków?jaką metodą?
zakładając ,że trafie na takie zadanie na maturze/konkursie i nie ma dostępu do Wolfa

anna_ · Post autor: **anna_** » 18 paź 2010, o 21:31

Skąd masz to zadanie?

jetros · Post autor: **jetros** » 18 paź 2010, o 21:37

Nasz nauczyciel nam zadał.

anna_ · Post autor: **anna_** » 18 paź 2010, o 21:42

No to jutro tutaj napisz jak to udowodnił.
Jestem tego bardzo ciekawa.

Mortify · Post autor: **Mortify** » 18 paź 2010, o 22:27

Na pewno w założeniach jest dla dowolnych a i b?