Wielomiany-twierdzenie Bezouta

[JoyMusic]

Proszę o rozjaśnienie mi tych dwóch zadań.

1. Sprawdź, czy wielomiany \(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}-3)(2x+1)}\) oraz \(\displaystyle{ W _{1} (x)=2x^{3}+x^{2}+mx-3}\) są równe, jeśli \(\displaystyle{ W _{1}(1)=-6}\) . Wyznacz pierwiastki wielomianu W(x).

2.Dany jest wielomian trzeciego stopnia o współczynniku 1 przy najwyższej potędze x. Wielomian ma trzy pierwiastki takie, że drugi jest 2 razy większy od pierwszego, a trzeci jest 4 razy większy od pierwszego. Wiadomo ponadto, że wartość wielomianu w punkcie 0 wynosi (-64). Oblicz pierwiastki tego wielomianu i podaj współczynniki przy \(\displaystyle{ x^{2}}\).

Znalazłem rozwiązanie do tego 2. zadania na forum
" \(\displaystyle{ f(x)=x^3+bx^2+cx+d \wedge f(0)=d= -64 \Rightarrow (2)\ f(x)=x^3+bx^2+cx-64\\
(3) \ f(x)=(x-z)(x-2z)(x-4z)\\}\)
postać iloczynową wymnóż i przyrównaj do postaci (2)"

Ale kompletnie nie rozumiem o co tu chodzi. Może ktoś wytłumaczy mi to troche inaczej ?

[anna_]

1.
Obliczam \(\displaystyle{ m}\)
\(\displaystyle{ W _{1}(1)=2 \cdot 1^{3}+1^{2}+m \cdot 1-3}\)
\(\displaystyle{ W _{1}(1)=2 +1+m-3}\)
\(\displaystyle{ W _{1}(1)=m}\)
Ponieważ
\(\displaystyle{ W _{1}(1)=-6}\)
więc
\(\displaystyle{ m=-6}\)
Zatem wielomian \(\displaystyle{ W _{1} (x)}\) jest postaci
\(\displaystyle{ W _{1} (x)=2x^{3}+x^{2}-6x-3}\)

Wielomiam
\(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}-3)(2x+1)=2x^3 + x^2 - 6x - 3}\)
Ponieważ wszystkie współczynniki obu wielomianów są równe, więc wielomiany są równe.

Obliczam pierwiaski wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\)
\(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}-3)(2x+1)}\)
\(\displaystyle{ (x^{2}-3)(2x+1)=0}\)
\(\displaystyle{ (x- \sqrt{3} )(x+\sqrt{3} )(2x+1)=0}\)
\(\displaystyle{ x- \sqrt{3}=0 \ lub \ x+\sqrt{3} =0 \ lub \ 2x+1=0}\)
\(\displaystyle{ x= \sqrt{3} \ lub \ x=- \sqrt{3} \ lub \ x=-\frac{1}{2}}\)

2.
Poniewaź wielomian jest trzeciego stopnia a jego współczynnik przy najwyższej potędze jest równy \(\displaystyle{ 1}\), więc jest postaci
\(\displaystyle{ f(x)=x^3+bx^2+cx+d}\)
Z warunków zadania wiadomo, że \(\displaystyle{ f(0)=-64}\), więc mamy
\(\displaystyle{ f(0)=0^3+b \cdot 0^2+c \cdot 0+d}\)
\(\displaystyle{ f(0)=d}\)
stąd otrzymujemy
\(\displaystyle{ d=-64}\)
Wielomian przyjmuje więc postać:
\(\displaystyle{ f(x)=x^3+bx^2+cx-64}\)

Wiadomo też, że wielomian ma trzy pierwiastki takie, że drugi jest 2 razy większy od pierwszego, a trzeci jest 4 razy większy od pierwszego
Jeżeli oznaczymy sobie \(\displaystyle{ x_1=z}\) , to \(\displaystyle{ x_2=2z}\) i \(\displaystyle{ x_3=4z}\), więc nasz wielomian przyjmie postać:
\(\displaystyle{ f(x)=(x-z)(x-2z)(x-4z)}\)
czyli
\(\displaystyle{ f(x)=x^3 - 7x^2z + 14xz^2 - 8z^3}\)

Porównujemy współczynniki
\(\displaystyle{ x^3+bx^2+cx-64=x^3 - 7x^2z + 14xz^2 - 8z^3}\)
i rozwiązujesz układ
\(\displaystyle{ \begin{cases} b=-7z \\ c=14z^2\\-64=-8z^2 \end{cases}}\)

[JoyMusic]

nmn ratujesz mnie kolejny raz ;]

Mam jeszcze takie pytanie. Gdy mam wielomian 3 stopnia, i nie da się go pogrupować, to czy liczenie z twierdzenia o istnieniu pierwiastków wymiernych wielomianu zawsze się sprawdza?

[adamm]

Jeśli nie da się pogrupować to wielomian nie ma pierwiastków. Natomiast jeśli nie umiesz pogrupować to wielomian może mieć pierwiastki wymierne, ale także pierwiastki niewymierne.

[anna_]

Jeśli nie da się pogrupować to wielomian nie ma pierwiastków.

Z tym się nie zgadzam.
Jeżeli nie można pogrupować, to nie znaczy, że pierwiastków nie ma

[adamm]

Czy haczyk zatem tkwi w dodaniu słówka rzeczywistych?

[anna_]

Spróbujesz to pogrupować?
\(\displaystyle{ x ^{3} +3x ^{2}+3x-8}\)