Wielomian - powtórzenie

[JoyMusic]

Rozwiązuje powtórzenie do matury, wielomiany podstawa, ale przez zgubiony zeszyt nie mogę przypomnieć sobie paru zagadnień, dlatego proszę o rozjaśnienie mi tych paru zadań.

1. Dany jest wielomian \(\displaystyle{ w(x)= x^{3} -3x^{2} +ax+b}\) w wyniku dzielenia przez dwumian (x-1) daje resztę 12, a przez dwumian (x+1) daje resztę 30. Wyznacz współczynniki a i b tego wielomianu oraz jego pierwiastki.

2. Wiedząc, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)=-x^{3} +(a+1)x^{2}+(8a-3)x-15}\) , jest podzielny przez dwumian (x – 1) wyznacz:
a) wartość parametru a b) rozkład wielomianu na czynniki liniowe c) zbiór rozwiązań nierówności W(x) < 0.

Tutaj podpunkt a. policzyłem W(1) i podpunkt c. wstawiłem to a, które mi wyszło i zrobiłem nierówność. Zgadza się? B, nie rozumiem ;/

I jeszcze mam takie pytanie czy jeśli dzielę wielomian przez inny który ma postać np. 2x+1, to mogę stosować schemat Hornera? tzn. zrobić sobie 2(x+0,5) i teraz wpisać w schemacie -0,5 ?

EDYTUJE: Bardzo proszę o pomoc jeszcze w tym zadaniu: Sprawdź, czy wielomiany \(\displaystyle{ W(x)=(x^{2}-3)(2x+1)}\) oraz \(\displaystyle{ W _{1} (x)=2x^{3}+x^{2}+mx-3}\) są równe, jeśli \(\displaystyle{ W _{1}(1)=-6}\) . Wyznacz pierwiastki wielomianu W(x).

[atteloiv]

Za \(\displaystyle{ x}\) podstawiamy\(\displaystyle{ 1}\) i to co wyjdzie przyrównujemy do 12, oraz podstawiamy \(\displaystyle{ -1}\) i przyrównujemy do \(\displaystyle{ 30}\). Powstaje prosty układ równań

[mat_61]

2. Wiedząc, że wielomian \(\displaystyle{ W9X)=-x^{3} +(a+1)x^{2}+(8a-3)x-15}\) , jest podzielny przez dwumian (x – 1) wyznacz:
a) wartość parametru a b) rozkład wielomianu na czynniki liniowe c) zbiór rozwiązań nierówności W(x) < 0.

Tutaj podpunkt a. policzyłem W(1) i podpunkt c. wstawiłem to a, które mi wyszło i zrobiłem nierówność. Zgadza się? B, nie rozumiem ;/

a) c) Piszesz mało precyzyjnie co zrobiłeś. Z warunku W(1)=0 obliczasz "a". Wstawiasz do wielomianu i rozwiązujesz podaną nierówność.

b) Masz znaleźć pozostałe rzeczywiste pierwiastki wielomianu (z treści zakładam, że istnieją) i zapisać ten wielomian jako iloczyn trzech dwumianów.

I jeszcze mam takie pytanie czy jeśli dzielę wielomian przez inny który ma postać np. 2x+1, to mogę stosować schemat Hornera? tzn. zrobić sobie 2(x+0,5) i teraz wpisać w schemacie -0,5 ?

Schemat Hornera stosuje się tylko do dzielenia wielomianu przez dwumian (x-a).
W podanym przez Ciebie przykładzie, jeżeli chcesz wykonać dzielenie korzystając ze schematu Hornera, musisz zrobić tak, że po wyciągnięciu dwójki przez nawias dzielisz przez 2 zarówno dwumian jak i wielomian i dopiero wtedy ten "nowy" wielomian możesz dzielić przez (x+0,5)