Podwójny pierwiastek wielomianu i dwie niewiadome

[14f13]

Od godziny męcze się nad wielomianem

\(\displaystyle{ W(x) = x^{4} + (m+n)x^{3} + (m-n)x^{2} +(m^{2} + 2n - 1)x + m + 2n + 4}\)

gdzie pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ (x-1)^{2}}\). No więc z Hornera uzyskam taką resztę, która jest równa 0:
\(\displaystyle{ m^{2} + 3m + 4n + 4 = 0}\)

ale nie mam pomysłu skąd wziąć drugie równanie. Szperając po necie trafiłem na podobne problemy, ale nic nie zrozumiałem jak to rozwiązać. Mam to co mi zostanie podzielić jeszcze raz przez x - 1? Prosiłbym o rozpisanie tego jeśli możliwe.

Przy okazji, jak wielomian \(\displaystyle{ x^{4} + 1}\) rozłożyć na czynniki, oprócz tego, że to jest \(\displaystyle{ (x^2 +1)^2 - 2x^{2}}\)?

Z góry dzięki za pomoc

[piasek101]

Podziel przez \(\displaystyle{ (x-1)}\) - reszta = 0

Potem otrzymane przez \(\displaystyle{ (x-1)}\) ....


Rozłożenie, ze wzoru \(\displaystyle{ a^2-b^2=...}\).

[14f13]

Co do drugiego dzięki, nie zauważyłem tego, skupiłem się na wielomianie. Co do pierwszego to otrzymane co mam podzielić? Jak już podzielę ten początkowy wielomian to wychodzi coś takiego...

\(\displaystyle{ (x - 1)(x^{3} + (1+m+n)x^{2} +(2m +1)x) + m^{2} +3m +4n +4}\)

\(\displaystyle{ m^{2} +3m +4n +4 = 0}\)

Zostaje mi

\(\displaystyle{ (x - 1)(x^{3} + (1+m+n)x^{2} +(2m +1)x)}\)

Biorę \(\displaystyle{ (x^{3} + (1+m+n)x^{2} +(2m +1)x)}\) i dzięlę znowu przez \(\displaystyle{ (x - 1)}\)

Wychodzi mi \(\displaystyle{ x^{2} + (2+m+n)x + 3m + n + 3}\)

Biorę resztę z tego tj. \(\displaystyle{ 3m + n + 3 = 0}\)

Teraz mam dwa równania, ale czy to drugie jest poprawne? Wychodzą mi pierwiastki niewymierne...

[piasek101]

Co do drugiego dzięki, nie zauważyłem tego, skupiłem się na wielomianie. Co do pierwszego to otrzymane co mam podzielić? Jak już podzielę ten początkowy wielomian to wychodzi coś takiego...

\(\displaystyle{ (x - 1)(x^{3} + (1+m+n)x^{2} +(2m +1)x) + m^{2} +3m +4n +4}\)

A ja mam :
\(\displaystyle{ (x-1)\left(x^3+(m+n+1)x^2+(2m+1)x+(m^2+2m+2n)\right)}\) reszty (taka jak u Ciebie) \(\displaystyle{ m^2+3m+4n+4}\)

[14f13]

Robiłem tak wcześniej i przeoczyłem to potem... Dzięki wielkie