Wyznaczyć pierwiastki i znaleźć p

[Bolo33]

Mam dwa trudne zadania i potrzebuje pomocy:
1) Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ x^{3} + px^{2} -x + q}\) przez trójmian \(\displaystyle{ (x+2)^{2}}\) wynosi \(\displaystyle{ 1-x}\). Wyznacz pierwiastki tego wielomianu.
2) Dany jest wielomian \(\displaystyle{ W(x)= x^{3} +4x + p}\), gdzie \(\displaystyle{ p}\) jest liczbą pierwszą. Znajdź \(\displaystyle{ p}\) wiedząc, że \(\displaystyle{ W(x)}\) ma pierwiastek całkowity.

O jakich własnościach tu zapomniałem, jakie trzeba by było wykorzystać?

[Justka]

1. Mamy dzielnik, mamy resztę, więc możemy napisać, że \(\displaystyle{ x^3+px^2-x+q=(x+2)^2(x+a)+1-x}\) dla jakiegoś tam a. Wymnóż i porównaj co trzeba

2. Pierwiastek całkowity wielomianu (o współczynnikach całkowitych) jest dzielnikiem wyrazu wolnego.

[Bolo33]

W(x)=(dzielnik)(wynik z tego dzielenia) + reszta
mam dzielnik i mam reszte ale dlaczego \(\displaystyle{ (x+a)}\) jest tym wynikiem?

A w drugim mam szukać aż znajde?

[Justka]

Ogólnie wynikiem tego dzielenia będzie wielomian pierwszego stopnia (\(\displaystyle{ bx+a}\)), ponieważ dzielimy wiel. st. 3 przez wiel. st. 2. ale z racji tego, że współczynnik przy najwyższej potędze wielomianu wyjściowego jest równy 1 to i po podzieleniu przez \(\displaystyle{ (x+2)^2}\) otrzymamy wielomian pierwszego stopnia o współczynniku b=1 przy x, więc \(\displaystyle{ x+a}\).


a w drugim Twoim wyrazem wolnym jest liczba pierwsza, więc pomyśl ile dzielników ma taka liczba.

[Bolo33]

Czyli w 1 będzie, że;
\(\displaystyle{ p=a \wedge p=4 \wedge q=4}\)

czyli W(x) = \(\displaystyle{ x^{3} + 4x^{2} - x + 4}\) No i wyznaczam te pierwiastki.

2) \(\displaystyle{ \frac{p}{q}}\) = 1,3,5,7 itd w nieskonczość. Mam tak sobie każda liczbe podstawić?