1.wyznacz parametr \(\displaystyle{ \alpha}\) tak, aby \(\displaystyle{ \alpha \in <0,2 \pi >}\) oraz reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)= x^{3} -2 x^{2}-2x+4sin \alpha}\) przez \(\displaystyle{ x-3}\) była równa 1.
2.wyznacz wszystkie wartosci paramentru m dla ktorych wielomian \(\displaystyle{ W(x)=(m-4)x^4-4x^2+m-3}\) ma cztery pierwiastki.
3.dany jest wielomian trzeciego stopnia o współczynniku 1 przy najwyższej potędze. pierwiastki tego wielomianu tworzą rosnący ciąg geometryczny o pierwszym wyrazie 4. suma pierwiastków wielomianu jest równa 19.
a)wyznacz wzór tego wielomianu.
b)rozwiąż nierownosc \(\displaystyle{ W(x)(x-4) \le 0}\)
wyznaczanie paramentru
-
lukasz1804
- Użytkownik
- Posty: 4438
- Rejestracja: 17 kwie 2007, o 13:44
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1313 razy
wyznaczanie paramentru
Wskazówki:
1. Z założenia wynika, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)-1}\) jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ x-3}\). Stąd i z twierdzenia Bezouta otrzymujemy \(\displaystyle{ W(3)-1=0}\). Pozostaje do rozwiązania odpowiednie równanie trygonometryczne.
2. Zauważ, że jeśli liczba \(\displaystyle{ x_0}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W}\), to liczba \(\displaystyle{ -x_0}\) jest także pierwiastkiem tego wielomianu. Jeśli wielomian \(\displaystyle{ W}\) ma mieć cztery różne pierwiastki, to wielomian \(\displaystyle{ P(t)=(m-4)t^2-4t+m-3}\) ma dwa różne pierwiastki.
3. Korzystając ze wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego znajdź pozostałe dwa wyrazy ciągu (pierwiastki wielomianu). Zapisz wielomian w postaci iloczynowej (taka wystarczy, by jednoznacznie scharakteryzować wielomian, a jednocześnie ułatwi rozwiązanie żądanej nierówności).
1. Z założenia wynika, że wielomian \(\displaystyle{ W(x)-1}\) jest podzielny przez dwumian \(\displaystyle{ x-3}\). Stąd i z twierdzenia Bezouta otrzymujemy \(\displaystyle{ W(3)-1=0}\). Pozostaje do rozwiązania odpowiednie równanie trygonometryczne.
2. Zauważ, że jeśli liczba \(\displaystyle{ x_0}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W}\), to liczba \(\displaystyle{ -x_0}\) jest także pierwiastkiem tego wielomianu. Jeśli wielomian \(\displaystyle{ W}\) ma mieć cztery różne pierwiastki, to wielomian \(\displaystyle{ P(t)=(m-4)t^2-4t+m-3}\) ma dwa różne pierwiastki.
3. Korzystając ze wzoru na sumę wyrazów ciągu geometrycznego znajdź pozostałe dwa wyrazy ciągu (pierwiastki wielomianu). Zapisz wielomian w postaci iloczynowej (taka wystarczy, by jednoznacznie scharakteryzować wielomian, a jednocześnie ułatwi rozwiązanie żądanej nierówności).