Dwie nierówności wielomianowe

[krzysiek852]

Prosiłbym o rozwiązanie tych nierówności:
\(\displaystyle{ x^{12}-x^9+x^4-x+1>0 \\
x^3+\frac{1}{x^3}=6 \left( x+\frac{1}{x} \right)}\)

[sigmaIpi]

W drugiej nierówności należy podstawić zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t=x+\frac{1}{x}}\)i skorzystać ze wzoru na sześcian sumy. Całość redukuje się do nierówności \(\displaystyle{ t^3-9t>0}\).
Z pierwszą nierównością coś jest nie tak, chyba , że to jakieś metody numeryczne. Nawet Mathematica nie znajduje pierwiastków takiego równania.

[atteloiv]

W drugiej nierówności należy podstawić zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t=x+\frac{1}{x}}\)i skorzystać ze wzoru na sześcian sumy. Całość redukuje się do nierówności \(\displaystyle{ t^3-9t>0}\).
Z pierwszą nierównością coś jest nie tak, chyba , że to jakieś metody numeryczne. Nawet Mathematica nie znajduje pierwiastków takiego równania.

bzdura
Przenosimy na jedną stronę sprowadzamy do wspólnego mianownika, grupujemy wyłączamy czynnik przed nawias.napisz na pw to ci prześlę skan bo jeszcze nie umiem pisać wzorów

[krzysiek852]

Dzięki za pomoc w tym drugim sprawdze i zobacze czy mi coś wyjdzie. Natomiast w tym drugim doszedłem do postaci x(\(\displaystyle{ x^{8}}\)+1)(\(\displaystyle{ x^{3}}\)-1)+1>0 i nie wiem co dalej zrobic..Wiem tylko tlye że można to zrobić bez pomocy całek i pochodnych

[bayo84]

2.

Rozwiązaniem będzie zbiór liczb rzeczywistych. pozostaje kwestia jak do tego dojść.

[sigmaIpi]

Można dedukować z postaci \(\displaystyle{ 1 + x^4 + x^{12} > x + x^9}\)
Dla \(\displaystyle{ x<0}\) lewa strona jest zawsze dodatnia a prawa ujemna zatem nierówność jest spełniona.
Dla\(\displaystyle{ x=0}\) mamy \(\displaystyle{ 1>0}\)
Dla\(\displaystyle{ x\ge 1}\) jest to dość oczywiste bo po lewej mamy większe potęgi i z monotoniczności wszystko widać.
Zostają do rozpatrzenia \(\displaystyle{ x\in(0,1)}\)

[bryk]

ad. 1
Wystarczy przenieść 1 na drugą stronę. Po przekształceniu, otrzymujemy :
\(\displaystyle{ x(x^{8}+1)(x-1)(x^{2}+x+1)>-1}\)
Pierwszy i ostatni nawias są zawsze nieujemne, trzeba tylko udowodnić, że x(x-1) jest zawsze nieujemne. Dla 1 jest to oczywiste, również, tak samo jak dla przedziału\(\displaystyle{ (1, \infty )}\) no i \(\displaystyle{ (- \infty , 1 )}\). Tak więc dla R całe wyrażenie jest większe od -1.

[sigmaIpi]

No niezupełnie oczywiste:) dla \(\displaystyle{ x\in(0,1)}\) wyrażenie \(\displaystyle{ x(x-1)}\)nie jest nieujemne.

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ x^3+\frac{1}{x^3}=6 \left( x+\frac{1}{x} \right)}\)

Ja bym próbował w ten sposób

\(\displaystyle{ x^3+\frac{1}{x^3}=6 \left( x+\frac{1}{x} \right) | \cdot x^{3}\\
x^6+1=6x^4+6x^2\\
x^6-6x^4-6x^2+1=0}\)

\(\displaystyle{ x^6-6x^4-6x^2+1=0\\
\left( x^2+1\right)\left( x^4-7x^2+1\right)=0\\
\left( x^2+1\right)\left( x^2-3x+1\right)\left( x^2+3x+1\right)=0}\)

Trójmiany kwadratowe rozkładasz licząc wyróżnik itd

Poza tym tu nie ma nierówności
tylko jest równość