Dwie nierówności wielomianowe
-
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 8 sie 2010, o 15:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 11 razy
Dwie nierówności wielomianowe
Prosiłbym o rozwiązanie tych nierówności:
\(\displaystyle{ x^{12}-x^9+x^4-x+1>0 \\
x^3+\frac{1}{x^3}=6 \left( x+\frac{1}{x} \right)}\)
\(\displaystyle{ x^{12}-x^9+x^4-x+1>0 \\
x^3+\frac{1}{x^3}=6 \left( x+\frac{1}{x} \right)}\)
Ostatnio zmieniony 12 paź 2010, o 18:37 przez M Ciesielski, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
-
- Użytkownik
- Posty: 492
- Rejestracja: 1 paź 2010, o 18:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 53 razy
Dwie nierówności wielomianowe
W drugiej nierówności należy podstawić zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t=x+\frac{1}{x}}\)i skorzystać ze wzoru na sześcian sumy. Całość redukuje się do nierówności \(\displaystyle{ t^3-9t>0}\).
Z pierwszą nierównością coś jest nie tak, chyba , że to jakieś metody numeryczne. Nawet Mathematica nie znajduje pierwiastków takiego równania.
Z pierwszą nierównością coś jest nie tak, chyba , że to jakieś metody numeryczne. Nawet Mathematica nie znajduje pierwiastków takiego równania.
-
- Użytkownik
- Posty: 63
- Rejestracja: 30 kwie 2008, o 19:38
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: wieś
- Pomógł: 5 razy
Dwie nierówności wielomianowe
bzdurasigmaIpi pisze:W drugiej nierówności należy podstawić zmienną pomocniczą \(\displaystyle{ t=x+\frac{1}{x}}\)i skorzystać ze wzoru na sześcian sumy. Całość redukuje się do nierówności \(\displaystyle{ t^3-9t>0}\).
Z pierwszą nierównością coś jest nie tak, chyba , że to jakieś metody numeryczne. Nawet Mathematica nie znajduje pierwiastków takiego równania.
Przenosimy na jedną stronę sprowadzamy do wspólnego mianownika, grupujemy wyłączamy czynnik przed nawias.napisz na pw to ci prześlę skan bo jeszcze nie umiem pisać wzorów
-
- Użytkownik
- Posty: 77
- Rejestracja: 8 sie 2010, o 15:18
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 11 razy
Dwie nierówności wielomianowe
Dzięki za pomoc w tym drugim sprawdze i zobacze czy mi coś wyjdzie. Natomiast w tym drugim doszedłem do postaci x(\(\displaystyle{ x^{8}}\)+1)(\(\displaystyle{ x^{3}}\)-1)+1>0 i nie wiem co dalej zrobic..Wiem tylko tlye że można to zrobić bez pomocy całek i pochodnych
-
- Użytkownik
- Posty: 492
- Rejestracja: 1 paź 2010, o 18:20
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 53 razy
Dwie nierówności wielomianowe
Można dedukować z postaci \(\displaystyle{ 1 + x^4 + x^{12} > x + x^9}\)
Dla \(\displaystyle{ x<0}\) lewa strona jest zawsze dodatnia a prawa ujemna zatem nierówność jest spełniona.
Dla\(\displaystyle{ x=0}\) mamy \(\displaystyle{ 1>0}\)
Dla\(\displaystyle{ x\ge 1}\) jest to dość oczywiste bo po lewej mamy większe potęgi i z monotoniczności wszystko widać.
Zostają do rozpatrzenia \(\displaystyle{ x\in(0,1)}\)
Dla \(\displaystyle{ x<0}\) lewa strona jest zawsze dodatnia a prawa ujemna zatem nierówność jest spełniona.
Dla\(\displaystyle{ x=0}\) mamy \(\displaystyle{ 1>0}\)
Dla\(\displaystyle{ x\ge 1}\) jest to dość oczywiste bo po lewej mamy większe potęgi i z monotoniczności wszystko widać.
Zostają do rozpatrzenia \(\displaystyle{ x\in(0,1)}\)
- bryk
- Użytkownik
- Posty: 42
- Rejestracja: 16 paź 2009, o 22:38
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Trójmiasto
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3 razy
Dwie nierówności wielomianowe
ad. 1
Wystarczy przenieść 1 na drugą stronę. Po przekształceniu, otrzymujemy :
\(\displaystyle{ x(x^{8}+1)(x-1)(x^{2}+x+1)>-1}\)
Pierwszy i ostatni nawias są zawsze nieujemne, trzeba tylko udowodnić, że x(x-1) jest zawsze nieujemne. Dla 1 jest to oczywiste, również, tak samo jak dla przedziału\(\displaystyle{ (1, \infty )}\) no i \(\displaystyle{ (- \infty , 1 )}\). Tak więc dla R całe wyrażenie jest większe od -1.
Wystarczy przenieść 1 na drugą stronę. Po przekształceniu, otrzymujemy :
\(\displaystyle{ x(x^{8}+1)(x-1)(x^{2}+x+1)>-1}\)
Pierwszy i ostatni nawias są zawsze nieujemne, trzeba tylko udowodnić, że x(x-1) jest zawsze nieujemne. Dla 1 jest to oczywiste, również, tak samo jak dla przedziału\(\displaystyle{ (1, \infty )}\) no i \(\displaystyle{ (- \infty , 1 )}\). Tak więc dla R całe wyrażenie jest większe od -1.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Dwie nierówności wielomianowe
\(\displaystyle{ x^3+\frac{1}{x^3}=6 \left( x+\frac{1}{x} \right)}\)
Ja bym próbował w ten sposób
\(\displaystyle{ x^3+\frac{1}{x^3}=6 \left( x+\frac{1}{x} \right) | \cdot x^{3}\\
x^6+1=6x^4+6x^2\\
x^6-6x^4-6x^2+1=0}\)
\(\displaystyle{ x^6-6x^4-6x^2+1=0\\
\left( x^2+1\right)\left( x^4-7x^2+1\right)=0\\
\left( x^2+1\right)\left( x^2-3x+1\right)\left( x^2+3x+1\right)=0}\)
Trójmiany kwadratowe rozkładasz licząc wyróżnik itd
Poza tym tu nie ma nierówności
tylko jest równość
Ja bym próbował w ten sposób
\(\displaystyle{ x^3+\frac{1}{x^3}=6 \left( x+\frac{1}{x} \right) | \cdot x^{3}\\
x^6+1=6x^4+6x^2\\
x^6-6x^4-6x^2+1=0}\)
\(\displaystyle{ x^6-6x^4-6x^2+1=0\\
\left( x^2+1\right)\left( x^4-7x^2+1\right)=0\\
\left( x^2+1\right)\left( x^2-3x+1\right)\left( x^2+3x+1\right)=0}\)
Trójmiany kwadratowe rozkładasz licząc wyróżnik itd
Poza tym tu nie ma nierówności
tylko jest równość