Równość wielomianów.

[lenkaja]

Wyznacz wielomiany P(x) i Q(x) najniższego stopnia, dla których:
\(\displaystyle{ (x^{4} - 2x ^{3} - 4x ^{2} + 6x + 1)P(x)}\) przystaje do \(\displaystyle{ x^{4} - (x^{3} - 5x - 3)Q(x)}\)

[Inkwizytor]

Warunek przystawania dwóch wielomianów:
\(\displaystyle{ (x^{4} - 2x ^{3} - 4x ^{2} + 6x + 1)P(x) - [ x^{4} - (x^{3} - 5x - 3)Q(x)]=0}\)
Wymnóż i każdy współczynnik przy kolejnych potegach x oraz wyraz wolny muszą wynosić ZERO

[lenkaja]

Ale przeciez tego sie nie da tak wymnozyc, nie znamy wspolczynnikow przy potegach! Przeciez tam mnozmy przez wielomiany, ktore chcemy znalezc...

[Inkwizytor]

Ale da się pewne ważne wnioski wysnuć gdy się temu przyjrzymy
1.) W iloczynie z \(\displaystyle{ P(x)}\) jest m.in. \(\displaystyle{ x^2}\) a w iloczynie z Q(x) go nie ma. Wobec czego musi on powstać jako produkt iloczynu \(\displaystyle{ -5x}\) i x zawartego w Q(x)
2.) Z drugiej strony da sie wyzerować gdy \(\displaystyle{ P(x)}\) będzie jakąś stała \(\displaystyle{ P(x)=a}\)
bo w obu częściach stopień wielomianu będzie wynosił 4
Zbierając obie informacje razem wraz z obecnym w treści zadania: "Wyznacz wielomiany P(x) i Q(x) najniższego stopnia" Stwierdzić można że stopień Q(x) jest o 1 wyższy od P(x) oraz najprostszy przypadek do rozpatrzenia to:
\(\displaystyle{ P(x)=a \\
Q(x)=bx+c}\)

\(\displaystyle{ ax^{4} - 2ax ^{3}- 4ax ^{2} + 6ax + a - x^{4} + x^{3}(bx+c) - 5x(bx+c) - 3(bx+c)=0}\)

Teraz zabawa z grupowaniem i przyrównywaniem poszczególnych współczynników do zera. Jeśli wyjdzie sprzeczność to podwyższamy stopnie obu wielomianów o jeden (i robi sie już "fajnie" bo wtedy \(\displaystyle{ P(X)=ax+b \ \ Q(x)=cx^2+dx+e}\))

[lenkaja]

Ok. Tylko w odpowiedziach jest ze P(x) jest stopnia 2, a Q(x) jest stopnia 3, wiec troche liczenia by bylo. . .

[Inkwizytor]

Najwidoczniej w pierwszych dwóch rozpatrywanych przypadkach gdzieś po drodze wyskakiwała sprzeczność. W takim razie troche liczenia cie czeka