określ liczbę różnych pierwiastków wielomianu W(x)

[mateusz199314]

określ liczbę różnych pierwiastków wielomianu W(x)=ax^3+x^2+x w zależności od wartości współczynnika a

[Vax]

\(\displaystyle{ ax^3+x^2+x = x(ax^2+x+1)}\)

Jeżeli a=0, to wielomian ma 2 pierwiastki, jeżeli jest większe od 0, to ma 1 rozwiązanie, jeżeli jest mniejsze od 0, to ma 3 rozwiązania.

Pozdrawiam.

[mateusz199314]

kurcze a w odpowiedziach jest że ma jeden pierwiastek gdy a należy do (0,25:+ infty ), dwa gdy a należy do{0,0,25} i 3 gdy a należy (- infty :0,25) i nie wiem dlaczego tak jest...

[Vax]

W odpowiedziach jest prawidłowo, z rozpędu nie zwróciłem uwagi na to, co się dzieje gdy a jest w tych przedziałach

Pozdrawiam.

[mateusz199314]

ale dlaczego tak jest??

[Vax]

No to tak, mamy następującą postać:

\(\displaystyle{ x(ax^2+x+1)=0}\)

Aby równanie miało tylko jeden pierwiastek x=0, w drugim nawiasie delta musi być ujemna:

\(\displaystyle{ 1-4a<0}\)

\(\displaystyle{ -4a<-1}\)

\(\displaystyle{ a>\frac{1}{4}}\)

Tak więc równanie ma jedno rozwiązanie, gdy \(\displaystyle{ a\in (\frac{1}{4} ; +\infty)}\)

Aby miało 2 rozwiązania, współczynnik a musi być równy 0, lub delta musi być równa 0:

\(\displaystyle{ 1-4a=0}\)

\(\displaystyle{ 4a=1}\)

\(\displaystyle{ a=\frac{1}{4}}\)

Tak więc równanie ma 2 rozwiązania, dla \(\displaystyle{ a\in \lbrace 0 ; \frac{1}{4} \rbrace}\)

Aby miało 3 rozwiązania, delta w nawiasie musi być większa od 0:

\(\displaystyle{ 1-4a>0}\)

\(\displaystyle{ -4a>-1}\)

\(\displaystyle{ a<\frac{1}{4}}\)

\(\displaystyle{ a\in (-\infty ; \frac{1}{4})}\)

Jednak tutaj należy zwrócić uwagę na to, że w tym przedziale mieści się 0, a jak pokazaliśmy wcześniej, dla 0 wielomian ma 2 rozwiązania, więc należy je wykluczyć:

Równanie ma 3 rozwiązania dla \(\displaystyle{ a\in (-\infty ; 0) \cup (0 ; \frac{1}{4})}\)


Mam nadzieję, że już rozumiesz

Pozdrawiam.

[mateusz199314]

Jasne. Wielkie dzięki:)