znaleźć postać wielomianu

[henc]

Witam, mam mały problem z zadaniem. Wydaje mi sie dość proste, w liceum robiło sie trudniejsze, ale po wakacjach nie pamiętam za dużo. Oto ono:


Przy dzieleniu wielomianu \(\displaystyle{ W _{n} (x)}\) stopnia \(\displaystyle{ n \ge 2}\) przez (x - 1) otrzymamy
resztę 2, zaś przy dzieleniu \(\displaystyle{ W _{n} (x)}\) przez (x - 2) resztę 1. Ile wynosi reszta prz dzieleniu
tego wielomianun przez (x-1)(x-2).


Oczywiście wystarczy mi ogólny zarys i jakieś komentarze. Reszte sam dam rade;] Z góry dzięki.

[sea_of_tears]

W(x) przy dzieleniu prze (x-1) daje resztę 2 zatem \(\displaystyle{ W(1)=2}\)
W(x) przy dzieleniu przez (x-2) daje resztę 1 zatem \(\displaystyle{ W(2)=1}\)

teraz W(x) dzielimy przez (x-1)(x-2) reszta zatem będzie co najwyżej wielomianem pierwszego stopnia, czyli :
\(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(x-2)\cdot P(x) + R(x)}\)
gdzie \(\displaystyle{ R(x)=ax+b}\)

\(\displaystyle{ W(x)=(x-1)(x-2)\cdot P(x)+ ax+b}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}
W(1)=2\\
W(2)=1
\end{cases}
\newline
\begin{cases}
2=(1-1)(1-2)P(1)+a+b\\
1=(2-1)(2-2)P(2)+2a+b
\end{cases}
\newline
\begin{cases}
2=a+b\\
1=2a+b
\end{cases}}\)
wystarczy tylko dokończyć i mamy resztę