Rozłożenie wielomianu na czynniki

[nikimon]

Witam!
Nie mogę sobie poradzić z rozłożeniem tego wielomianu na czynniki:

\(\displaystyle{ W(x) = x ^{4} -3x ^{2} +9}\)

Dochodzę do czegoś takiego:


\(\displaystyle{ W(x) = x ^{4} -3x ^{2} +9 = (x ^{2} -3) ^{2}+3x ^{2}}\)

Co dalej?

[?ntegral]

Twierdzenie:

Każdy wielomian można rozłożyć na czynniki stopnia co najwyżej drugiego.

Zatem:

\(\displaystyle{ W(x)=x^4-3x^2+9=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)}\)

Wymnożyć, porównać współczynniki i wyjdzie.

\(\displaystyle{ y=(x^2-3x+3)(x^2+3x+3)}\)

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ W(x) = x ^{4} -3x ^{2} +9}\)

No jak tak to rozłożysz to będziesz miała zespolone

Ja proponuję to rozłożyć trochę inaczej

\(\displaystyle{ x ^{4} -3x ^{2} +9=0\\
x^{4}=3x^{2}-9\\
\left( x^2+ \frac{y}{2} \right)^2=\left( y+3\right)x^2+ \frac{y^2}{4}-9\\
\left( y^2-36\right)\left( y+3\right)=0\\
\left( y-6 \right)\left( y+6\right)\left( y+3\right)=0\\
\left( x^2+3\right)^2=9x^2\\
\left( x^2-3x+3\right) \left( x^2+3x+3\right)=0}\)

[ares41]

\(\displaystyle{ W(x) = x ^{4} -3x ^{2} +9 = (x ^{2} +3) ^{2}-9x ^{2}}\)

[nikimon]

Chyba jestem już zmęczona, ale nie rozumiem, jak z tego:

\(\displaystyle{ W(x)=x^4-3x^2+9=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)}\)

powstaje to:\(\displaystyle{ y=(x^2-3x+3)(x^2+3x+3)}\)

[piasek101]

W tej metodzie (widząc 9) od razu zakładam \(\displaystyle{ b = d = 3}\).

Trzeba pomnożyć to na prawej i porównać współczynniki z tym na lewej.

[nikimon]

Ok, dzięki, popróbuję jeszcze na innych przykładach tego typu

[?ntegral]

W drugim poście napisałem jasno i wyraźnie:

Wymnożyć, porównać współczynniki i wyjdzie.

\(\displaystyle{ W(x)=x^4-3x^2+9=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)}\)

\(\displaystyle{ W(x)=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)=x^4+(a+c)x^3+(b+d+ac)x^2+(ad+bc)x+bd}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a+c=0 \\ b+d+ac=-3 \\ ad+bc=0 \\ bd=9 \end{cases}}\)

[piasek101]

Dokładaj to co podałem - dużo szybciej idzie.

[?ntegral]

piasek101, racja. Dopiero teraz to zauważyłem.