równanie z parametrem

[darek20]

Znaleźć wszystkie wartości parametru \(\displaystyle{ p \in R}\), że równanie
\(\displaystyle{ ~ 5x^{3}-5(p+1)x^{2}+(71p-1)x-(66p-1)=0}\) ma trzy pierwiastki, które są liczbami naturalnymi.

[anna_]

\(\displaystyle{ x=1}\) to jeden z pierwiastków.
Podziel wielomian przez \(\displaystyle{ x-1}\), dalej już prosto

[darek20]

wyszło tyle \(\displaystyle{ -5 p x+5 x^2-1+66p}\) i dla mnie jednak nie jest prosto bo delta wyszła tyle \(\displaystyle{ 25p^2-132p+20}\) i co z tym?

[anna_]

\(\displaystyle{ (x - 1)(5x^2 - 5px + 66p - 1)=0}\)

Jeden pierwiastek już jest, więc równanie kwardatowe \(\displaystyle{ 5x^2 - 5px + 66p - 1=0}\) musi mieć dwa pierwiastki.
Równanie kwadratowe ma dwa pierwiaski jeżeli \(\displaystyle{ \Delta>0}\), czyli
\(\displaystyle{ 25p^2 - 1320p + 20>0}\)

PS Wyszła mi inna delta

-- dzisiaj, o 19:00 --

Ups, nie doczytałam, że to mają być pierwiastki naturalne.
Więc tak łatwo już nie będzie.

[darek20]

własnie te pierwiastki mają być naturalne i co właśnie z ta deltą musi być ona kwadratem liczby naturalnej

[anna_]

Jedyne co udało mi się wymyślić to, że
\(\displaystyle{ p \in N}\)

\(\displaystyle{ \frac{66p-1}{5} \in N}\)

\(\displaystyle{ p>52}\)

(Odpowiedź to \(\displaystyle{ p= 76}\), ale nie wiem czy to jedyna dobra odpowiedź i jak do niej dość )

[darek20]

akurat p=76 to sprawdziłem wolframie i pasuje ale teraz jak dojsc ze to własnie to i pokazać ze innego nie ma