Nierówność z modułem

[przemstein]

mam kłopot z dwoma przykładami, prosilbym o pomoc jeśli to możliwe, a zadania musze odrobić na jutro..
Rozwiąż nierówność.
a) \(\displaystyle{ x ^{4}-5x ^{2} \ge |x ^{2} -5|}\)
b) \(\displaystyle{ |x ^{3}-6x|> 5 x^{2}}\)

Z góry dziękuje

[lukasz1804]

a) Tu przyda się trochę sprytu.
Mamy \(\displaystyle{ x^4-5x^2\ge |x^2-5|\iff x^2(x^2-5)\ge|x^2-5|}\). Teraz warto zauważyć, że prawa strona nierówności ma zawsze wartość nieujemną, a ponieważ lewa ma być od niej nie mniejsza, to również musi być ona nieujemna. Co więcej, po lewej stronie nierówności mamy iloczyn, w którym czynnik \(\displaystyle{ x^2}\) ma zawsze wartość nieujemną. Zatem musi być \(\displaystyle{ x^2-5\ge 0}\), a to oznacza, że \(\displaystyle{ |x^2-5|=x^2-5}\). Nierówność przybiera zatem równoważną postać

\(\displaystyle{ x^2(x^2-5)\ge x^2-5}\),

skąd dostajemy \(\displaystyle{ x^2(x^2-5)-(x^2-5)\ge 0\iff (x^2-5)(x^2-1)\ge 0\iff (x+\sqrt{5})(x+1)(x-1)(x-\sqrt{5})\ge 0}\) i wobec tego mamy \(\displaystyle{ x\in(-\infty,-\sqrt{5}\rangle\cup\langle -1,1\rangle\cup\langle\sqrt{5},+\infty)}\).

b) Tu tylko wskazówka. Skoro \(\displaystyle{ |x^3-5x|>6x^2}\), to \(\displaystyle{ x^3-5x<-6x^2}\) lub \(\displaystyle{ x^3-5x>6x^2}\). Rozwiąż obydwie (proste) nierówności, a zbiorem rozwiązań wyjściowej nierówności będzie suma zbiorów rozwiązań dwóch tu otrzymanych.

[przemstein]

dzięki obliczyłem przykład b i wyszło mi tak jak w odpowiedzi wielkie dzięki raz jeszcze ;p tutaj na forum stawia sie jakies pochwaly czy cos ?