Obliczanie pierwiastków wielomianu.
-
- Użytkownik
- Posty: 142
- Rejestracja: 25 lis 2009, o 13:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 7 razy
Obliczanie pierwiastków wielomianu.
\(\displaystyle{ W(x)= x^{4}-6x ^{3}-2 x^{2} +6x+1}\). Proszę o pomoc w rozpisaniu tego wielomianu aby móc obliczyć jego pierwiastki. Dzięki.
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Obliczanie pierwiastków wielomianu.
Widać, że miejscami zerowymi są \(\displaystyle{ -1}\) oraz \(\displaystyle{ 1}\), zastosuj twierdzenie Bezout'a, zostanie tylko równanie kwadratowe, z którym dasz sobie radę.
Pozdrawiam.
Pozdrawiam.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6903
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Obliczanie pierwiastków wielomianu.
\(\displaystyle{ x^{4}-6x ^{3}-2 x^{2} +6x+1=0\\
x^{4}-6x ^{3}=2x^{2}-6x-1\\
x^{4}-6x^{3}+9x^{2}=11x^{2}-6x-1\\
\left( x^{2}-3x\right)^{2}= 11x^{2}-6x-1\\
\left( x^{2}-3x+ \frac{y}{2} \right)^{2}=\left( y+11\right)x^{2}-\left( 3y+6\right)x+ \frac{y^{2}}{4}-1}\)
\(\displaystyle{ \left( 3y+6\right)^{2}=\left( y^{2}-4\right)\left( y+11\right)\\
\left( y+2\right)\left( 9y+18-\left( y-2\right)\left( y+11\right) \right) \\
\left( y+2\right) \left( 9y+18-\left( y^{2}+9y-22\right) \right) \\
\left( y+2\right)\left( -y^2+40\right)=0\\
\left( y+2\right)\left( y^2-40\right)=0}\)
\(\displaystyle{ \left( x^{2}-3x-1\right)^{2}=9x^2}\)
\(\displaystyle{ \left( x^{2}-6x-1\right)\left( x^2-1\right) =0}\)
Tutaj w równaniu trzeciego stopnia dało się pogrupować wyrazy
W ogólnym przypadku odpowiednimi podstawieniami sprowadzasz równanie trzeciego stopnia
do wzorów Viete'a równania drugiego stopnia
x^{4}-6x ^{3}=2x^{2}-6x-1\\
x^{4}-6x^{3}+9x^{2}=11x^{2}-6x-1\\
\left( x^{2}-3x\right)^{2}= 11x^{2}-6x-1\\
\left( x^{2}-3x+ \frac{y}{2} \right)^{2}=\left( y+11\right)x^{2}-\left( 3y+6\right)x+ \frac{y^{2}}{4}-1}\)
\(\displaystyle{ \left( 3y+6\right)^{2}=\left( y^{2}-4\right)\left( y+11\right)\\
\left( y+2\right)\left( 9y+18-\left( y-2\right)\left( y+11\right) \right) \\
\left( y+2\right) \left( 9y+18-\left( y^{2}+9y-22\right) \right) \\
\left( y+2\right)\left( -y^2+40\right)=0\\
\left( y+2\right)\left( y^2-40\right)=0}\)
\(\displaystyle{ \left( x^{2}-3x-1\right)^{2}=9x^2}\)
\(\displaystyle{ \left( x^{2}-6x-1\right)\left( x^2-1\right) =0}\)
Tutaj w równaniu trzeciego stopnia dało się pogrupować wyrazy
W ogólnym przypadku odpowiednimi podstawieniami sprowadzasz równanie trzeciego stopnia
do wzorów Viete'a równania drugiego stopnia