Trudne rónanie wielomianowe

margas603 · Post autor: **margas603** » 7 paź 2010, o 16:33

Nie mam pojęcia z jakiej metody skorzystać przy tym równaniu żeby znależc pierwiastki. Prosze o pomoc
\(\displaystyle{ x^4+7x^3-12x^2-176x-320=0}\)

Vax · Post autor: **Vax** » 7 paź 2010, o 16:34

Jednym z miejsc zerowych jest \(\displaystyle{ x=5}\)

Pozdrawiam.

margas603 · Post autor: **margas603** » 7 paź 2010, o 16:37

Vax pisze:Jednym z miejsc zerowych jest \(\displaystyle{ x=5}\)

Pozdrawiam.

Do tego jeszcze -4 jest trzykrotnym pierwiastkiem tego równania. Nie moge dojśc do wyniku żadną znana mi metodą, mógłby mi ktoś zasugerować metodę rozwiązania?

Majeskas · Post autor: **Majeskas** » 7 paź 2010, o 16:43

Jeżeli już wiadomo, że jednym z pierwiastków jest 5, wystarczy podzielić wielomian przez (x+5) i szukać dalej. W czym problem, skoro mamy do czynienia z pierwiastkami całkowitymi? Jakiej metody Ci brakuje? Wystarczy znać twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych, twierdzenie Bezout i umieć dzielić wielomian przez dwumian liniowy.

margas603 · Post autor: **margas603** » 7 paź 2010, o 16:45

Majeskas pisze:Jeżeli już wiadomo, że jednym z pierwiastków jest 5, wystarczy podzielić wielomian przez (x+5) i szukać dalej. W czym problem, skoro mamy do czynienia z pierwiastkami całkowitymi? Jakiej metody Ci brakuje? Wystarczy znać twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu o współczynnikach całkowitych, twierdzenie Bezout i umieć dzielić wielomian przez dwumian liniowy.

Rozumiem, szukanie dalsze nie jest juz takie trudne, ale mam problem ze znalezieniem tej 5 własnie.

Vax · Post autor: **Vax** » 7 paź 2010, o 16:45

@Majeskas, popełniłeś literówkę, powinno się dzielić przez \(\displaystyle{ (x-5)}\)

Pozdrawiam.

EDIT// Zawsze można dany wielomian rozłożyć:

\(\displaystyle{ x^4+7x^3-12x^2-176x-320=0}\)

\(\displaystyle{ x^4-5x^3+12x^3-60x^2+48x^2-240x+64x-320=0}\)

\(\displaystyle{ x^3(x-5)+12x^2(x-5)+48x(x-5)+64(x-5)=0}\)

\(\displaystyle{ (x-5)(x^3+12x^2+48x+64)=0}\)

Pozdrawiam. x2

margas603 · Post autor: **margas603** » 7 paź 2010, o 17:00

no i tyle powinno mi wystarczyc. Dziękuję.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 11 paź 2010, o 14:34

Vax, na marginesie dodam że gdyby chciał liczyć
metodą Ferrariego to tzw równanie rozwiązujące (trzeciego stopnia)
jest równe temu drugiemu czynnikowi

margas603 · Post autor: **margas603** » 12 lis 2010, o 15:59

Kolejna równość do rozwiązania i kolejna zawiecha. ;/
2x^3-x^2-17x+52=0

Vax · Post autor: **Vax** » 12 lis 2010, o 16:25

Wymiernych pierwiastków to nie ma, próbuj wzorami Cardano.

Pozdrawiam.

Mariusz M · Post autor: **Mariusz M** » 12 lis 2010, o 16:28

margas603, wiesz coś o liczbach zespolonych ponieważ mogą się przydać

Pokażę jak możesz sprowadzić to równanie do równania kwadratowego

\(\displaystyle{ 2x^3-x^2-17x+52=0\\
2\left( y+ \frac{1}{6} \right)^3-\left( y+ \frac{1}{6} \right)^2-17\left( y+ \frac{1}{6} \right)+52=0\\
2\left( y^3+ \frac{1}{2}y^2+ \frac{1}{12}y+ \frac{1}{216} \right)-\left( y^2+ \frac{1}{3}y+ \frac{1}{36} \right)-17y- \frac{17}{6}+52=0\\
2y^{3}- \frac{103}{6}y+ \frac{1327}{27}=0\\
y^{3}- \frac{103}{12}y+\frac{1327}{54}=0}\)

\(\displaystyle{ \left( u+v\right)^3- \frac{103}{12}\left( u+v\right)+ \frac{1327}{54}=0\\
u^3+3u^2v+3uv^2+v^3+ \frac{1327}{54}=0\\
u^3+v^3+\frac{1327}{54}+3\left( u+v\right)\left( uv- \frac{103}{36} \right) =0}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} u^3+v^3+\frac{1327}{54}=0 \\ uv- \frac{103}{36}=0 \end{cases}\\
\begin{cases} u^3+v^3=-\frac{1327}{54} \\ uv= \frac{103}{36} \end{cases}\\
\begin{cases} u^3+v^3=-\frac{1327}{54} \\ u^3v^3= \frac{1092727}{46656} \end{cases}\\}\)

Powyższy układ równań przypomina wzory Viete'a równania kwadratowego

\(\displaystyle{ t^2+ \frac{1327}{54}t+\frac{1092727}{46656}=0}\)