Dowód na brak rozwiązań wymiernych równania wielomianowego

[Majeskas]

Niech \(\displaystyle{ W(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+…+a_1x+a_0}\) będzie wielomianem o dodatnich i całkowitych współczynnikach. Wykaż, że jeśli W(0) i W(1) są nieparzyste, to równanie W(x)=0 nie ma rozwiązań wymiernych.

Zadanie jest podobno proste, więc może czegoś nie widzę. Proszę o podpowiedź.

\(\displaystyle{ W(0)=a_0}\) - nieparzyste

\(\displaystyle{ W(1)=1+a_{n-1}+…+a_1+a_0}\) - nieparzyste

Z tych dwóch danych można wysnuć wniosek, że suma: \(\displaystyle{ a_{n-1}+…+a_1}\) jest nieparzysta.

Jedynymi możliwymi pierwiastkami wymiernymi tego wielomianu są ujemne dzielniki \(\displaystyle{ a_0}\)

Zakładam więc np.:

\(\displaystyle{ W(-a_0)=0}\)

\(\displaystyle{ (-a_0)^n+a_{n-1} \cdot (-a_0)^{n-1}+…-a_1a_0+a_0=0}\)

\(\displaystyle{ a_0((-a_0)^{n-1}+a_{n-1} \cdot (-a_0)^{n-2}+…-a_1+1)=0}\)

\(\displaystyle{ a_0=0 \vee (-a_0)^{n-1}+a_{n-1} \cdot (-a_0)^{n-2}+…-a_1+1=0}\)

Pierwsze zdanie jest sprzeczne, choćby dlatego, że \(\displaystyle{ a_0}\) jest dodatnie. Drugie też zapewne powinno być sprzeczne, ale kompletnie nie wiem jak to wykazać jedynie na podstawie nieparzystości sumy \(\displaystyle{ a_{n-1}+…+a_1}\) i \(\displaystyle{ a_0}\).

Nie wiem też, jak odnieść się do pozostałych ujemnych dzielników \(\displaystyle{ a_0}\). Proszę o wskazówkę.

[Glo]

A może po prostu zastanówmy się, kiedy wielomian ma takie pierwiastki. Na pewno znasz twierdzenie o pierwiastkach wymiernych wielomianu. No więc wiesz, ze jeżeli szukamy pierwiastków wymiernych, to szukamy ich śród dzielników wyrazu wolnego i dzielników wyrazu przy najwyższej potędze, gdzie dzielnik wyrazu wolnego jest licznikiem, a wyrazu przy najwyższej potędze - mianownikiem takiego pierwiastka. Wiesz też, że wyraz przy najwyższej potędze jest jedynką, a wyraz wolny jest całkowity - tak więc wielomian nie może posiadać pierwiastków wymiernych, gdyż nie ma liczby całkowitej, która podzielona przez jedynkę nie byłaby liczbą całkowitą. W zasadzie to jedyną potrzebną infromacją jest to, że współczynnik przy najwyższej potędze równy jeden. Być może nie mam racji, ale IMO to wyczerpuje wszystkie obcje

Mimo to proszę o jakieś dodatkowe opinie 'biegłych'

[Majeskas]

Niestety, zupełnie nie masz racji. Sens twierdzenia, który podałeś się zgadza, ale umknęło Ci, że każda liczba całkowita jest liczbą wymierną (spełnia definicję liczby wymiernej). W związku z tym, jeśli istnieją pierwiastki całkowite, to automatycznie istnieją wymierne i dopóki nie wykluczymy istnienia (w tym wypadku) pierwiastków całkowitych, nie możemy wykluczyć istnienia pierwiastków wymiernych. Zauważ, że ja od razu zacząłem szukać wśród dzielników wyrazu wolnego, wiedząc, że wyraz przy najwyższej potędze jest równy 1. Ponadto wiadomo, że muszą być to dzielniki ujemne, gdyż wszystkie współczynniki wielomianu są dodatnie, zatem nie wyzeruje się on dla żadnej dodatniej zmiennej (suma liczb dodatnich jest dodatnia). Ale to wciąż mi nie wystarcza do rozwiązania zadania.

W każdym razie dziękuję za chęci.