Dowód na metodę wężyka

[dociekliwypacan]

Witam. Zna ktoś, albo potrafi wyprowadzić dowód na metodę wężyka?
chodzi mi o to dlaczego funkcja odbija się (nie zmienia znaku) dla pierwiastków n+2?
z gory dzieki za odpowiedź, albo nakierowanie.
pozdrawiam

[Crizz]

Nie do końca rozumiem, co miało oznaczać "\(\displaystyle{ n+2}\)", domyślam się jednak, że chodzi o pierwiastki parzystokrotne. Nie będzie to ścisły dowód, jednak uzasadnienie - mam nadzieję - będzie wystarczająco obrazowe.

Jest to naprawdę dosyć proste: powiedzmy, że mamy wielomian \(\displaystyle{ P(x)}\) i niech \(\displaystyle{ a}\) będzie \(\displaystyle{ 2k}\) - krotnym pierwiastkiem tego wielomianu. Zapisujemy ten wielomian w postaci \(\displaystyle{ P(x)=Q(x) \cdot (x-a)^{2k}}\).

Skoro \(\displaystyle{ a}\) jest dokładnie \(\displaystyle{ 2k}\) - krotnym pierwiastkiem, to nie może już być pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ Q}\). Dla uproszczenia przyjmijmy, że \(\displaystyle{ Q(a)>0}\) (rozumowanie dla \(\displaystyle{ Q(a)<0}\) będzie analogiczne). Oznacza to, że \(\displaystyle{ Q(x)>0}\) również w pewnym otoczeniu punktu \(\displaystyle{ a}\) (może prościej: "bezpośrednio" przy \(\displaystyle{ a}\) po obu stronach leżą takie punkty, że \(\displaystyle{ Q(x)>0}\)). Dlaczego? Gdyby po jednej stronie punktu \(\displaystyle{ a}\) funkcja przyjmowała wartości dodatnie, a po drugiej ujemne, to w punkcie \(\displaystyle{ a}\) musiałaby przejść przez zero, a wiemy, że \(\displaystyle{ Q(a) \neq 0}\).

Zauważ teraz, że \(\displaystyle{ \left( x-a \right) ^{2k}= \left( \left( x-a \right)^{k} \right)^{2}}\) wszędzie poza punktem \(\displaystyle{ a}\) jest dodatnie. Jeśli teraz rozważymy właśnie to otoczenie \(\displaystyle{ a}\), w którym \(\displaystyle{ Q(x)>0}\), to w nim wartość wielomianu \(\displaystyle{ P}\) (czyli iloczynu \(\displaystyle{ Q(x)\cdot (x-a)^{2k}}\)) jest dodatnia (jako iloczyn dwóch liczb dodatnich).

Wielomian zachowuje się zatem właśnie tak, jak to zaznaczamy w metodzie wężyka - w punkcie \(\displaystyle{ a}\) dotyka osi, ale na lewo i na prawo od \(\displaystyle{ a}\) ma ten sam znak (nie "przechodzi" przez oś).

Dowód nie jest ścisły głównie ze względu na zdanie zaznaczone kursywą, które bardzo obrazowo wyjaśnia wspomnianą wcześniej własność. Jeśli chcesz, mogę uzupełnić je ścisłym dowodem, który jest odrobinę trudniejszy. Nie znam jednak Twojego poziomu matematycznego i dlatego nie wiem, czy będzie on przydatny.

[Inkwizytor]

Dla uproszczenia przyjmijmy, że \(\displaystyle{ Q(a)>0}\) (rozumowanie dla \(\displaystyle{ Q(a)<0}\) będzie analogiczne). Oznacza to, że \(\displaystyle{ Q(x)>0}\) również w pewnym otoczeniu punktu \(\displaystyle{ a}\) (może prościej: "bezpośrednio" przy \(\displaystyle{ a}\) po obu stronach leżą takie punkty, że \(\displaystyle{ Q(x)>0}\)).

No własnie tego nie możemy przyjąć bo właśnie to jest przedmiotem dowodu W zasadzie takie założenie kończy "dowód"

Dlaczego? Gdyby po jednej stronie punktu \(\displaystyle{ a}\) funkcja przyjmowała wartości dodatnie, a po drugiej ujemne, to w punkcie \(\displaystyle{ a}\) musiałaby przejść przez zero, a wiemy, że \(\displaystyle{ Q(a) \neq 0}\).

ale przecież \(\displaystyle{ P(a)=Q(a) \cdot (a-a)^{2k}=Q(a) \cdot 0=0}\) i Q(a) nie musi być równe zero. Tu trzeba użyć analizy I pochodnej dla otoczenia punktu a. Jestem w trakcie pisania takiego uzasadnienia.

[Crizz]

Hmmm... szczerze mówiąc nie bardzo rozumiem.

Wiemy, że \(\displaystyle{ Q(a) \neq 0}\), bo w przeciwnym wypadku liczba \(\displaystyle{ a}\) byłaby co najmniej \(\displaystyle{ 2k+1}\) - krotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ P}\) - a zakładamy, że jest dokładnie \(\displaystyle{ 2k}\) - krotnym. Skoro wiemy, że \(\displaystyle{ Q(a) \neq 0}\), to wartość wielomianu \(\displaystyle{ Q}\) w punkcie \(\displaystyle{ a}\) jest albo dodatnia, albo ujemna. \(\displaystyle{ Q(a)}\) przeciez nie tylko nie musi, ale nie może być równe zeru, bo co innego zakładaliśmy,

[Inkwizytor]

Ok. Rozumiem już teraz, że w tym zdaniu: funkcja przyjmowała wartości dodatnie, a po drugiej ujemne, to w punkcie musiałaby przejść przez zero pod słowo "funkcja" należy podłożyć tylko \(\displaystyle{ Q(x)}\), a nie \(\displaystyle{ P(x)}\). Stąd to niezrozumienie
W ramach uzupełnienia dla dociekliwego: Crizz skorzystał Tw. Darboux przy omawianiu własności samego \(\displaystyle{ Q(x)}\)

[dociekliwypacan]

Dzięki wielkie. Mam jeszcze jedno offtopowe pytanko: co studiujecie (studiowaliście), w sensie na jakich kierunkach będe miał okazję zajmować sie takimi problemami?-- 3 lis 2010, o 14:14 --Aha, nie wiem czy dobrze zrozumiałem ale chodzi o to że Q(x) w poblizu a nie moze zmienic swego znaku, gdyz a nie moze byc juz jego pierwiastkiem, oraz (a-x)2k nie zmienia swego znaku. Czyli jakby pierwiastek był stopnia 2k+1 to dla Q(x) przyjmowalibyśmy to samo, lecz pod potegą dla liczb <a znak bylby zawsze przeciwny do tego po stronie x>a ?

[Crizz]

Dokładnie o to chodzi.

Nie miałem tego na studiach. Lubię natomiast wiedzieć nie tylko jak coś działa, ale również dlaczego, wiec często dokształcam się we własnym zakresie. Takie problemy (ale też masę trudniejszych) powinieneś mieć na każdym kierunku matematycznym albo porządnym technicznym, bo w gruncie rzeczy są tu używane głównie podstawy analizy.