Ilość rozwiazań w zależności od parametru

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Mixture00
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 5 paź 2010, o 20:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 2 razy

Ilość rozwiazań w zależności od parametru

Post autor: Mixture00 »

Witam. Mam problem z rozwiązaniem zadania na określenie liczby rozwiązań w zalezności od parametru \(\displaystyle{ a}\). Udało mi się określić 4,2 i 0 rozwiązań, ale nie wiem jak zrobić to dla 1 i 3... Proszę o pomoc, jeżeli ktoś ma jakiś pomysł...

To właśnie ten przykład :
\(\displaystyle{ x^4 + (1-2a)x^2 + a^2-1 = 0}\)

Nie wiem jak sie koduje potęgi, więc wybaczcie taki zapis )

Z góry dziękuję za pomoc, czekam na odpowiedź.
Ostatnio zmieniony 5 paź 2010, o 20:34 przez Anonymous, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
abc666

Ilość rozwiazań w zależności od parametru

Post autor: abc666 »

Podstawiasz \(\displaystyle{ x^2=t}\) i masz zwykłe równanie kwadratowe.
Mixture00
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 5 paź 2010, o 20:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 2 razy

Ilość rozwiazań w zależności od parametru

Post autor: Mixture00 »

Tylko że to nie jest takie proste. Jest kilka warunków, które musi być spełnione dla 1 i 3 rozwiązań i nie jestem w stanie wszystkich tych warunków spełnić.
abc666

Ilość rozwiazań w zależności od parametru

Post autor: abc666 »

Żeby były 3 rozwiązania musi być spełnione
\(\displaystyle{ t_1>0 \wedge t_2=0}\)
Żeby było jedno rozwiązanie musi być
\(\displaystyle{ t_1<0 \wedge t_2=0}\)
Mixture00
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 5 paź 2010, o 20:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 2 razy

Ilość rozwiazań w zależności od parametru

Post autor: Mixture00 »

A jak mam wyczarować to, że \(\displaystyle{ t_{2}= 0}\), a \(\displaystyle{ t_{1}<0}\) ? Przecież nie policzę konkretnej \(\displaystyle{ \Delta}\) ....
Ostatnio zmieniony 5 paź 2010, o 21:16 przez Anonymous, łącznie zmieniany 2 razy.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
bakala12
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 3044
Rejestracja: 25 mar 2010, o 15:34
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Gołąb
Podziękował: 24 razy
Pomógł: 513 razy

Ilość rozwiazań w zależności od parametru

Post autor: bakala12 »

Wzory Viete'a
Mixture00
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 5 paź 2010, o 20:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 2 razy

Ilość rozwiazań w zależności od parametru

Post autor: Mixture00 »

A może jakoś konkretniej ? Próbowałam wzorami, przydały się przy innych odpowiedziach, ale tutaj nie wiem jak je zastosować.
Awatar użytkownika
b7b7
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 17
Rejestracja: 3 paź 2010, o 23:45
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Warszawa
Pomógł: 2 razy

Ilość rozwiazań w zależności od parametru

Post autor: b7b7 »

Za \(\displaystyle{ x^{2}}\) podstawiamy \(\displaystyle{ t, t \ge 0}\); otrzymujemy równanie kwadratowe:
\(\displaystyle{ t^{2} +(1-2a)t+ a^{2} -1=0}\)
Obliczamy \(\displaystyle{ \Delta}\), mi wyszło \(\displaystyle{ 5-4a}\)
1) dla \(\displaystyle{ \Delta =0; a= \frac{5}{4} ; t= \frac{3}{4} ; x_{1} = \frac{ \sqrt{3} }{2} ; x_{2} = \frac{- \sqrt{3} }{2}}\) ; mamy dwa rozwiązania
2) dla \(\displaystyle{ \Delta < 0}\) czyli dla \(\displaystyle{ a> \frac{5}{4}}\); nie ma rozwiązań
3) \(\displaystyle{ t \ge 0}\) więc z wzorów Viete'a suma i iloczyn pierwiastków ma być nieujemna.
z tych warunków wyszło mi \(\displaystyle{ a \ge 1}\)
dla \(\displaystyle{ t=0, a=1}\), równanie ma trzy rozwiązania \(\displaystyle{ (0, 1, -1)}\)
dla \(\displaystyle{ t>0}\) i \(\displaystyle{ \Delta >0}\) czyli dla \(\displaystyle{ 1<a< \frac{5}{4}}\) równanie ma cztery rozwiązania
4) dla \(\displaystyle{ a <1}\) nie ma rozwiazań
Moim zdaniem nie ma przypadku jednego rozwiazania
Ostatnio zmieniony 5 paź 2010, o 23:42 przez Crizz, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Niepoprawnie napisany kod LaTeX-a. Proszę zapoznaj się z http://matematyka.pl/178502.htm .
Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 428 razy

Ilość rozwiazań w zależności od parametru

Post autor: Inkwizytor »

abc666 pisze: Żeby było jedno rozwiązanie musi być
\(\displaystyle{ t_1<0 \wedge t_2=0}\)
Dla wielomianów postaci \(\displaystyle{ ax^4+bx^2+c}\) jeszcze wchodzi w gre \(\displaystyle{ t_1=t_2=0}\) ale to w bardzo szczególnych przypadkach, który jednak trzeba sprawdzić

Mixture: aby istniał choć jeden pierwiastek w zerze (x=0) to wyraz wolny MUSI równać się zero. Jeśli w konkretnym przykładzie jest to niemożliwe to nie ma takiej sytuacji.
Mixture00
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 46
Rejestracja: 5 paź 2010, o 20:26
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Gdańsk
Podziękował: 2 razy

Ilość rozwiazań w zależności od parametru

Post autor: Mixture00 »

Ok, wszystko już wiem. Wyszło wszystko ładnie, znalazłam też przypadek z 1 rozwiązaniem, zgadza się z tym, co mam podane w książce w odpowiedziach, więc jest ok.

Dziękuję wszystkim za pomoc !
ODPOWIEDZ