Znajdowanie reszty z wielomianów

[adaxada]

a) Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ x+2}\) wynosi \(\displaystyle{ 7}\), a reszta z dzielenia tego wielomianu przez \(\displaystyle{ x-1}\) wynosi \(\displaystyle{ 1}\). Znajdź resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) przez wielomian \(\displaystyle{ (x+2)(x-1)}\).
b) Reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ V(x)}\) przez \(\displaystyle{ x-3}\) wynosi \(\displaystyle{ -45}\), a reszta z dzielenia tego wielomianu przez \(\displaystyle{ x+1}\) wynosi \(\displaystyle{ -1}\). Znajdź resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ V(x)}\) przez wielomian \(\displaystyle{ x ^{2}-2x-3}\)
Wskazówka: Szukana reszta ma postać \(\displaystyle{ ax+b}\)

[Pancernik]

a)
\(\displaystyle{ W\left(x \right)=\left( x+2\right) P\left( x\right)+7\\
W\left(x \right)=\left( x-1\right) Q\left( x\right)+1\\
\\
\left( x+2\right) \left( x-1\right)= x^2+x-2\\
\\
W\left(x \right)=\left( x^2+x-2\right) S\left( x\right)+R\left( x\right) \\
W\left(x \right)=\left( x^2+x-2\right) S\left( x\right)+ax+b}\)
Podstawiamy teraz do równości \(\displaystyle{ x=-2}\) i \(\displaystyle{ x=1}\).

\(\displaystyle{ \begin{cases} 7 = 0 - 2a+b \\ 1 = 0 + a + b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=-2 \\ b= 3\end{cases}\\
R\left( x\right)= -2x+3}\)

b)
\(\displaystyle{ V\left(x \right)=\left( x-3\right) P\left( x\right)-45\\
V\left(x \right)=\left( x+1\right) Q\left( x\right)-1\\
\\
V\left(x \right)=\left( x^2-2x-3\right) S\left( x\right)+R\left( x\right) \\
V\left(x \right)=\left( x^2-2x-3\right) S\left( x\right)+ax+b}\)
Podstawiamy teraz do równości \(\displaystyle{ x=3}\) i \(\displaystyle{ x=-1}\).

\(\displaystyle{ \begin{cases} -45 = 0 + 3a+b \\ -1 = 0 - a + b \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} a=-11 \\ b= -12\end{cases}\\
R\left( x\right)= -11x-12}\)