Rozwiąż równania

[JOEY]

1. \(\displaystyle{ x^4+6x^3-5x^2-18x+9=0}\)
2. \(\displaystyle{ x^4+2x^3+3x^2+6x+9=0}\)
3. \(\displaystyle{ x^4+4x^3-19x^2-106x-120=0}\)

[Vax]

Na pewno dobrze przepisałeś przykłady ? W 1 nie masz żadnych wymiernych rozwiązań, w 2 masz jedynie zespolone, tylko w 3 możesz skorzystać z twierdzenia Bezout'a. Co do 2 wspomnianych wcześniej, jeżeli się nie pomyliłeś przy przepisywaniu, możesz użyć metody Ferrariego.

Pozdrawiam.

[JOEY]

Dobrze przepisałem.
Liczby niewymierne to też rozwiązania.

Jest w stanie ktoś to rozwiązać?

[Vax]

Tylko, że w przykładzie 2, nie masz nawet niewymiernych.. ;] Ale ok, jak chcesz to jak napisałem, skorzystaj z metody Ferrariego.

Pozdrawiam.

PS. W 3 pierwiastkami są \(\displaystyle{ -2}\) oraz \(\displaystyle{ -3}\), podziel, a następnie otrzymasz trójmian kwadratowy, z którego policzysz resztę, również wyjdą całkowite.

PS2. Teraz idę na trening, więc jbc. odpowiem na inne pytania za kilka godzin.

[JOEY]

-2 nie pasuje w 3

[Vax]

Wylicz jeszcze raz, na pewno pasuje.. Pokażę, jak możesz zrobić przykład 1:

\(\displaystyle{ x^4+6x^3-5x^2-18x+9=0}\)

\(\displaystyle{ x^4+6x^3=5x^2+18x-9}\)

\(\displaystyle{ x^4+6x^3+9x^2=14x^2+18x-9}\)

\(\displaystyle{ (x^2+3x)^2 = 14x^2+18x-9}\)

\(\displaystyle{ (x^2+3x+\frac{y}{2})^2 = (y+14)x^2 + (3y+18)x + \frac{y^2}{4}-9}\)

\(\displaystyle{ (3y+18)^2 = (y^2-36)(y+14)}\)

\(\displaystyle{ 9y^2+108y+324=y^3+14y^2-36y-504}\)

\(\displaystyle{ y^3+5y^2-144y-828=0}\)

Widzimy, że jednym z pierwiastków jest -6

\(\displaystyle{ y=-6}\)

\(\displaystyle{ (x^2+3x-3)^2 = 8x^2}\)

\(\displaystyle{ (x^2+3x-3)^2 = (2\sqrt{2}x)^2}\)

\(\displaystyle{ (x^2+3x-3)^2-(2\sqrt{2}x)^2 = 0}\)

\(\displaystyle{ (x^2+(3-2\sqrt{2})x-3)(x^2+(3+2\sqrt{2})x-3)=0}\)

\(\displaystyle{ x^2+(3-2\sqrt{2})x-3 = 0 \vee x^2+(3+2\sqrt{2})x-3=0}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = \sqrt{29-12\sqrt{2}} \vee \sqrt{\Delta} = \sqrt{29+12\sqrt{2}}}\)

\(\displaystyle{ x_1 = \frac{-3+2\sqrt{2}+\sqrt{29-12\sqrt{2}}}{2}}\)

\(\displaystyle{ x_2 = \frac{-3+2\sqrt{2}-\sqrt{29-12\sqrt{2}}}{2}}\)

\(\displaystyle{ x_3 = \frac{-3-2\sqrt{2}+\sqrt{29+12\sqrt{2}}}{2}}\)

\(\displaystyle{ x_4 = \frac{-3-2\sqrt{2}-\sqrt{29+12\sqrt{2}}}{2}}\)

Podobnie robisz z 2 przykładem.

Pozdrawiam.
-Vax