Reszta z dzielenia przez dwumian drugiego stopnia

Alpha_PL · Post autor: **Alpha_PL** » 3 paź 2010, o 18:42

Po podzieleniu wielomianu W(x) przez wielomian \(\displaystyle{ x^{3} - x^{2}+5x-5}\) otrzymamy resztę \(\displaystyle{ 2x^{2}+5x+3}\). Jaka jest reszta z dzielenia wielomianu w(x) przez \(\displaystyle{ x^{2}+5}\)

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 3 paź 2010, o 19:28

Zauważ, że \(\displaystyle{ x^3-x^2+5x-5=x^2(x-1)+5(x-1)=(x-1)(x^2+5)}\). Zatem skoro \(\displaystyle{ W}\) daje z dzielenia przez \(\displaystyle{ x^3-x^2+5x-5}\) resztę \(\displaystyle{ 2x^2+5x+3}\), to

\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x^3-x^2+5x-5)+(2x^2+5x+3)=Q(x)(x-1)(x^2+5)+(2x^2+5x+3)=Q(x)(x-1)(x^2+5)+(2x^2+10+5x-7)=[Q(x)(x-1)+2](x^2+5)+(5x-7)}\).

Ponieważ \(\displaystyle{ 5x-7}\) jest wielomianem stopnia niższego od stopnia wielomianu \(\displaystyle{ x^2+5}\), to z powyższego dostajemy już, że szukana reszta z dzielenia wynosi właśnie \(\displaystyle{ 5x-7}\).

Alpha_PL · Post autor: **Alpha_PL** » 3 paź 2010, o 21:22

Rozumiem wszystko do trzeciego znaku \(\displaystyle{ =}\).
Dlaczego wielomian już zakładając że dzielimy przez \(\displaystyle{ x^2+5}\) zapisujemy tak \(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x-1)(x^2+5)+(2x^2+5x+3)}\) skoro nie dzielimy już przez ten człon \(\displaystyle{ (x-1)}\) więc mógłby wyglądać tak
\(\displaystyle{ W(x)=Q(x)(x^2+5)+R(x)}\).

Dlaczego szukana reszta jest resztą z dzielenia \(\displaystyle{ 2x^3+5x+3}\) przez \(\displaystyle{ x^2+5}\). Jak to jest powiązane?

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 4 paź 2010, o 12:56

Słusznie zauważyłeś, że szukana reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ W}\) przez \(\displaystyle{ x^2+5}\) musi być taka jak reszta z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ 2x^2+5x+3}\) przez \(\displaystyle{ x^2+5}\).
Rzeczywiście, w przedstawieniu \(\displaystyle{ W(x)=(x-1)Q(x)(x^2+5)+(2x^2+5x+3)}\) składnik \(\displaystyle{ (x-1)Q(x)(x^2+5)}\) dzieli się już przez \(\displaystyle{ x^2+5}\), więc należy jeszcze znaleźć resztę z dzielenia wielomianu \(\displaystyle{ 2x^2+5x+3}\) przez \(\displaystyle{ x^2+5}\).
Zauważ, że cały wielomian \(\displaystyle{ 2x^2+5x+3}\) nie może być tą resztą, gdyż nie jest stopnia niższego od stopnia dzielnika \(\displaystyle{ x^2+5}\).