Równanie- wielomiany

[sigmaIpi]

Oblicz \(\displaystyle{ x^{2}+ \frac{1}{x^2}}\) wiedząc, że \(\displaystyle{ x^3+\frac{1}{x^3}=110}\).
Rozwiązać rozwiązałam ale wydaje mi się, że można prościej. Najpierw rozwiązałam równanie trzeciego stopnia przy pomocy zmiennej pomocniczej i później wstawiłam obliczone x do pierwszego równania. Jednak roboty było z tym sporo i zastanawiam się czy nie da rady szybciej. Ze wzorów skróconego mnożenia mi nic sensownego nie wychodzi.

Odpowiedź to 23.

[Vax]

Jedziemy tak:

\(\displaystyle{ x^3 + \frac{1}{x^3} = 110 /\cdot x^3}\)

\(\displaystyle{ (x^3)^2 - 110x^3 + 1 = 0}\)

\(\displaystyle{ z=x^3}\)

\(\displaystyle{ z^2-110z+1 = 0}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = \sqrt{12096} = 24\sqrt{21}}\)

Mamy 2 pierwiastki, lecz potrzebny nam jest tylko jeden, możemy wybrać dowolny, wynik będzie jednakowy:

\(\displaystyle{ z = \frac{110+24\sqrt{21}}{2} = 55+12\sqrt{21}}\)

\(\displaystyle{ x = \sqrt[3]{55+12\sqrt{21}}}\)

I teraz zauważamy, że:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{55+12\sqrt{21}} = \sqrt[3]{\left(\frac{5+\sqrt{21}}{2}\right)^3}}\)

\(\displaystyle{ x = \frac{5+\sqrt{21}}{2}}\)

Na początku wyliczmy \(\displaystyle{ x + \frac{1}{x}}\):

\(\displaystyle{ x + \frac{1}{x} = \frac{5+\sqrt{21}}{2} + \frac{2}{5+\sqrt{21}} = \frac{(5+
\sqrt{21})^2 + 4}{10+2\sqrt{21}} = \frac{50+10\sqrt{21}}{10+2\sqrt{21}} = 5}\)

Skoro \(\displaystyle{ x+\frac{1}{x} = 5}\), to:

\(\displaystyle{ (x+\frac{1}{x})^2 = 25}\)

\(\displaystyle{ x^2 + \frac{1}{x^2} + 2 = 25}\)

\(\displaystyle{ x^2 + \frac{1}{x^2} = 23}\)

Pozdrawiam.

[sigmaIpi]

I teraz zauważamy, że:

\(\displaystyle{ \sqrt[3]{55+12\sqrt{21}} = \sqrt[3]{\left(\frac{5+\sqrt{21}}{2}\right)^3}}\)

To jest nie do zauważenia dla normalnego licealisty...

[Lbubsazob]

Można też inaczej.

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ a^3+b^3=(a+b) \left(a^2-ab+b^2 \right)}\) stąd \(\displaystyle{ x^3+ \left( \frac{1}{x} \right) ^3= \left(x+ \frac{1}{x} \right) \left( x^2-1+ \frac{1}{x^2} \right)}\)
\(\displaystyle{ x^2-1+ \frac{1}{x^2} =x^2+2+ \frac{1}{x^2}-2-1= \left(x+ \frac{1}{x} \right)^2-3}\)

Zostaje nam równanie \(\displaystyle{ \left(x+ \frac{1}{x} \right) \left(\left(x+ \frac{1}{x} \right)^2-3 \right)=110}\). Podstawiamy \(\displaystyle{ t=x+ \frac{1}{x}}\) i zostaje \(\displaystyle{ t \left(t^2-3 \right)=110}\).
Żeby iloczyn wynosił 110, czynniki mogą być: 1 i 110, 2 i 55, 5 i 22, 10 i 11, 11 i 10, 22 i 5, 55 i 2, 110 i 1. Teraz sprawdzamy, dla jakiego t równość będzie spełniona.
\(\displaystyle{ t=1 \ \ t^2-3=-2 \neq 110 \\
t=2 \ \ t^2-3=1 \neq 55 \\
t=5 \ \ t^2-3=22 \\
t=10 \ \ t^2-3=97 \neq 11 \\
t=11 \ \ t^2-3=118 \neq 10 \\
t=22 \ \ t^2-3=481 \neq 5 \\
t=55 \ \ t^2-3=3022 \neq 2 \\
t=110 \ \ t^2-3=12097 \neq 1}\)
W takim razie jedyne t spełniające równanie to \(\displaystyle{ t=5}\).
\(\displaystyle{ x+ \frac{1}{x}=5 \Rightarrow x^2+ \frac{1}{x^2}= \left(x+ \frac{1}{x} \right)^2-2=t^2-2=25-2=23}\)