Jeżeli wielomian \(\displaystyle{ w(x)=w(-x)}\) dla wszystkich liczb z przedziału (0;1) to:
a) \(\displaystyle{ w : R \rightarrow R}\) jest funkcją nieparzystą
b) \(\displaystyle{ w(x)}\) ma zerowe współczynniki przy parzystych potęgach x
c) \(\displaystyle{ w(x)}\) ma co najmniej jeden pierwiastek całkowity.
Jeżeli wielomian spełnia dany warunek, to..
-
Kissmycheek
- Użytkownik
- Posty: 5
- Rejestracja: 26 wrz 2010, o 12:28
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 1 raz
-
szw1710
Jeżeli wielomian spełnia dany warunek, to..
\(\displaystyle{ w(x)=x^2+1}\) to przykład, że wszystkie trzy odpowiedzi brzmią NIE. Pewnie chodziło o warunek \(\displaystyle{ w(x)=-w(-x)}\).
Wtedy jeśli a) jest prawdziwe, to z tego wynika od razu b), a z kolei z tego c), bo wartość funkcji nieparzystej w zerze zawsze jest zerowa. Stąd sprawdzenia wymaga przede wszystkim a). Wyjściowy warunek postulowany jest jedynie w przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\), więc wymaga to oczywiście zastanowienia.
Wydaje mi się, że a) jest prawdą, bo wielomian nie jest taką sobie dowolna funkcją. Dla dowolnej funkcji z jej zachowania w \(\displaystyle{ (0,1)}\) nic specjalnego nie wynika na całej prostej, jednak dla wielomianu może.
Z warunku \(\displaystyle{ w(x)=-w(-x)}\) wnosimy, że \(\displaystyle{ w(x)=\frac{w(x)-w(-x)}{2}}\) (dla \(\displaystyle{ x\in(0,1)}\)). Stąd wynika b), ale dla funkcji \(\displaystyle{ w:(-1,1)\to\mathbb{R}}\). Jednakże współczynniki wielomianu to wartości jego kolejnych pochodnych w zerze dzielone przez silnie liczb naturalnych (wzór Maclaurina), a zatem b) zachodzi dla funkcji \(\displaystyle{ w:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}\). Stąd mamy a) oraz c). Jest tu pewna luka Przemilczałem, czemu musi być \(\displaystyle{ w(0)=0}\), ale to można łatwo sprawdzić. Wynika to z ciągłości wielomianu w zerze i warunku, że wyraz wolny wielomianu to jego wartość w zerze. Podchodząc do zera z lewej strony wyraz wolny ma jakiś znak, a z prawej ma przeciwny, więc wyraz wolny musi być zerowy.
Wtedy jeśli a) jest prawdziwe, to z tego wynika od razu b), a z kolei z tego c), bo wartość funkcji nieparzystej w zerze zawsze jest zerowa. Stąd sprawdzenia wymaga przede wszystkim a). Wyjściowy warunek postulowany jest jedynie w przedziale \(\displaystyle{ (0,1)}\), więc wymaga to oczywiście zastanowienia.
Wydaje mi się, że a) jest prawdą, bo wielomian nie jest taką sobie dowolna funkcją. Dla dowolnej funkcji z jej zachowania w \(\displaystyle{ (0,1)}\) nic specjalnego nie wynika na całej prostej, jednak dla wielomianu może.
Z warunku \(\displaystyle{ w(x)=-w(-x)}\) wnosimy, że \(\displaystyle{ w(x)=\frac{w(x)-w(-x)}{2}}\) (dla \(\displaystyle{ x\in(0,1)}\)). Stąd wynika b), ale dla funkcji \(\displaystyle{ w:(-1,1)\to\mathbb{R}}\). Jednakże współczynniki wielomianu to wartości jego kolejnych pochodnych w zerze dzielone przez silnie liczb naturalnych (wzór Maclaurina), a zatem b) zachodzi dla funkcji \(\displaystyle{ w:\mathbb{R}\to\mathbb{R}}\). Stąd mamy a) oraz c). Jest tu pewna luka Przemilczałem, czemu musi być \(\displaystyle{ w(0)=0}\), ale to można łatwo sprawdzić. Wynika to z ciągłości wielomianu w zerze i warunku, że wyraz wolny wielomianu to jego wartość w zerze. Podchodząc do zera z lewej strony wyraz wolny ma jakiś znak, a z prawej ma przeciwny, więc wyraz wolny musi być zerowy.