Podzielność wartości wielomianu dla całkowitych n, dowód

[mariaPCD]

Wykaż że dla dowolnej liczby całkowitej n wartość wielomianu \(\displaystyle{ n ^{4} -2n ^{3} +n ^{2}}\) jest liczbą podzielną przez 4.

[Vax]

\(\displaystyle{ n^4-2n^3+n^2 = n^2(n^2-2n+1) = n^2(n-1)^2 = [n(n-1)]^2}\)

Iloczyn 2 kolejnych liczb naturalnych zawsze będzie podzielny przez 2, jeżeli dane wyrażenie podniesiemy do kwadratu będzie podzielny również przez \(\displaystyle{ 2^2=4}\).

Pozdrawiam.