Udowodnić, że x^12-x^9+x^4-x+1>0. Indukcja

[Kolo]

udowodnij ze dla \(\displaystyle{ x\in\mathbb{R}}\)

\(\displaystyle{ x^{12}-x^9+x^4-x+1>0}\)

Jak zrobić coś takiego? Przez indukcje?

[Arek]

Względem czego?

ale pokombinuj... może coś się da przed nawias wyciągnąć... musisz to jakoś konwencjonalnie zrobić...

[Skrzypu]

\(\displaystyle{ x^{12}-x^9+x^4-x+1>0}\)

Widać, że dla 0 wartość jest dodatnia

Dla liczb ujemnych wszystkie składniki są dodatnie, więc suma też jest dodatnia.

Dla \(\displaystyle{ x \ge 1}\) suma jest dodatnia, bo \(\displaystyle{ x^{12}-x^9 \ge 0}\) i \(\displaystyle{ x^4-x \ge 0}\)

Dla \(\displaystyle{ x \in (0,1)}\)

\(\displaystyle{ x^4-x^9>0
\\x^{12}>0
\\1-x>0}\)
Sumując te nierówności otrzymujemy teze

[Kolo_z_Wrocka]

No i tak to wlasnie zrobilem, tylko myslalem, ze trzeba przez indukcje I sie troche zdziwilem, jak pokazalem to zadanie gosciowi i dostalem 6 w dziennik, jak to taki banal byl Ale i tak dzieki wielkie za pomoc