Rozłóż na czynniki wielomian (max 2 stopnia <=> delta<0)
- izaizaiza
- Użytkownik
- Posty: 208
- Rejestracja: 26 wrz 2010, o 17:03
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 44 razy
- Pomógł: 9 razy
Rozłóż na czynniki wielomian (max 2 stopnia <=> delta<0)
\(\displaystyle{ x ^{6} + x ^{3} + 1 = 0}\)
Ostatnio zmieniony 26 wrz 2010, o 19:03 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
- Vax
- Użytkownik
- Posty: 2913
- Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
- Podziękował: 4 razy
- Pomógł: 612 razy
Rozłóż na czynniki wielomian (max 2 stopnia <=> delta<0)
Używaj \(\displaystyle{ \LaTeX}\)'u
\(\displaystyle{ x^6+x^3+1=0}\)
\(\displaystyle{ x^3=t}\)
\(\displaystyle{ t^2+t+1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta < 0}\)
Brak rozwiązań w liczbach rzeczywistych.
Pozdrawiam.
\(\displaystyle{ x^6+x^3+1=0}\)
\(\displaystyle{ x^3=t}\)
\(\displaystyle{ t^2+t+1=0}\)
\(\displaystyle{ \Delta < 0}\)
Brak rozwiązań w liczbach rzeczywistych.
Pozdrawiam.
- izaizaiza
- Użytkownik
- Posty: 208
- Rejestracja: 26 wrz 2010, o 17:03
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 44 razy
- Pomógł: 9 razy
Rozłóż na czynniki wielomian (max 2 stopnia <=> delta<0)
W poleceniu mam podane, żeby z tego równania najpierw zrobić postać iloczynową a dopiero potem wykazać, że w zbiorze liczb rzeczywistych nie będzie rozwiązania...
-
- Użytkownik
- Posty: 23496
- Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: piaski
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 3264 razy
Rozłóż na czynniki wielomian (max 2 stopnia <=> delta<0)
Popróbowałbym tak :
- przyrównać podane do \(\displaystyle{ (x^2+ax+1)(x^2+bx+1)(x^2+cx+1)}\) i wyznaczyć (a); (b); (c).
Raczej istnieje łatwiejszy sposób, ale go nie widzę.
- przyrównać podane do \(\displaystyle{ (x^2+ax+1)(x^2+bx+1)(x^2+cx+1)}\) i wyznaczyć (a); (b); (c).
Raczej istnieje łatwiejszy sposób, ale go nie widzę.
- Mariusz M
- Użytkownik
- Posty: 6909
- Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 1246 razy
Rozłóż na czynniki wielomian (max 2 stopnia <=> delta<0)
\(\displaystyle{ x ^{6} + x ^{3} + 1 = 0}\)
Można też podzielić ten wielomian przez trójmian kwadratowy
\(\displaystyle{ \left( x ^{6} + x ^{3} + 1\right) : \left( x^2+px+q\right)}\)
Następnie resztę z dzielenia tego wielomianu przyrównać do zera
Dostaniesz układ dwóch równań które należy rozwiązać
Dostaniesz do rozwiązania dwa równania czwartego stopnia
Sposób nieco trudniejszy od poprzednika nawet nieco podobny ale powinien doprowadzić do wyniku
Można też podzielić ten wielomian przez trójmian kwadratowy
\(\displaystyle{ \left( x ^{6} + x ^{3} + 1\right) : \left( x^2+px+q\right)}\)
Następnie resztę z dzielenia tego wielomianu przyrównać do zera
Dostaniesz układ dwóch równań które należy rozwiązać
Dostaniesz do rozwiązania dwa równania czwartego stopnia
Sposób nieco trudniejszy od poprzednika nawet nieco podobny ale powinien doprowadzić do wyniku
- Inkwizytor
- Użytkownik
- Posty: 4105
- Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 1 raz
- Pomógł: 428 razy
Rozłóż na czynniki wielomian (max 2 stopnia <=> delta<0)
Jeśli chodzi o samo uzasadnienie, że brak rzeczywistych rozwiązań równania \(\displaystyle{ x^6 + x^3 +1 =0}\) to można też tak :
Wszystkie rozważania dla n naturalnych dodatnich
0.) \(\displaystyle{ x^6 + x^3 +1 =0 \Leftrightarrow x^6+1 = -x^3}\)
1.) Niezerowe współczynniki przed wszystkimi \(\displaystyle{ x^n}\) (oraz wyraz wolny) są dodatnie, więc należy szukać ewentualnych rozwiązań w liczbach ujemnych (x=0 odrzucamy bo wyraz wolny jest niezerowy)
2.) Dla każdego \(\displaystyle{ x \in (-1,0)}\) prawdą jest że \(\displaystyle{ |x^n| \in (0,1)}\) czyli \(\displaystyle{ |x^3| < 1 + x^6 \Rightarrow -x^3 \neq 1 + x^6}\) stąd brak rozwiązań naszego równania
3.) \(\displaystyle{ x=-1}\) nie jest rozwiązaniem równania
4.) Dla każdego \(\displaystyle{ x \in (- \infty ,-1)}\) prawdą jest, że \(\displaystyle{ |x^{2n}| > |x^n|}\) czyli \(\displaystyle{ x^6 +1 > |x^3| \Rightarrow 1 + x^6 \neq-x^3}\) stąd brak rozwiązań naszego równania
Wszystkie rozważania dla n naturalnych dodatnich
0.) \(\displaystyle{ x^6 + x^3 +1 =0 \Leftrightarrow x^6+1 = -x^3}\)
1.) Niezerowe współczynniki przed wszystkimi \(\displaystyle{ x^n}\) (oraz wyraz wolny) są dodatnie, więc należy szukać ewentualnych rozwiązań w liczbach ujemnych (x=0 odrzucamy bo wyraz wolny jest niezerowy)
2.) Dla każdego \(\displaystyle{ x \in (-1,0)}\) prawdą jest że \(\displaystyle{ |x^n| \in (0,1)}\) czyli \(\displaystyle{ |x^3| < 1 + x^6 \Rightarrow -x^3 \neq 1 + x^6}\) stąd brak rozwiązań naszego równania
3.) \(\displaystyle{ x=-1}\) nie jest rozwiązaniem równania
4.) Dla każdego \(\displaystyle{ x \in (- \infty ,-1)}\) prawdą jest, że \(\displaystyle{ |x^{2n}| > |x^n|}\) czyli \(\displaystyle{ x^6 +1 > |x^3| \Rightarrow 1 + x^6 \neq-x^3}\) stąd brak rozwiązań naszego równania