Rozłóż na czynniki wielomian (max 2 stopnia <=> delta<0)

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
Awatar użytkownika
izaizaiza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 208
Rejestracja: 26 wrz 2010, o 17:03
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 9 razy

Rozłóż na czynniki wielomian (max 2 stopnia <=> delta<0)

Post autor: izaizaiza »

\(\displaystyle{ x ^{6} + x ^{3} + 1 = 0}\)
Ostatnio zmieniony 26 wrz 2010, o 19:03 przez Lbubsazob, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Nieczytelny zapis - brak LaTeX-a. Proszę zapoznać się z instrukcją: http://matematyka.pl/latex.htm .
Awatar użytkownika
Vax
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2913
Rejestracja: 27 kwie 2010, o 22:07
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Biała Podlaska / Warszawa
Podziękował: 4 razy
Pomógł: 612 razy

Rozłóż na czynniki wielomian (max 2 stopnia <=> delta<0)

Post autor: Vax »

Używaj \(\displaystyle{ \LaTeX}\)'u

\(\displaystyle{ x^6+x^3+1=0}\)

\(\displaystyle{ x^3=t}\)

\(\displaystyle{ t^2+t+1=0}\)

\(\displaystyle{ \Delta < 0}\)

Brak rozwiązań w liczbach rzeczywistych.

Pozdrawiam.
Awatar użytkownika
izaizaiza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 208
Rejestracja: 26 wrz 2010, o 17:03
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 9 razy

Rozłóż na czynniki wielomian (max 2 stopnia <=> delta<0)

Post autor: izaizaiza »

W poleceniu mam podane, żeby z tego równania najpierw zrobić postać iloczynową a dopiero potem wykazać, że w zbiorze liczb rzeczywistych nie będzie rozwiązania...
piasek101
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 23493
Rejestracja: 8 kwie 2008, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: piaski
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 3263 razy

Rozłóż na czynniki wielomian (max 2 stopnia <=> delta<0)

Post autor: piasek101 »

Popróbowałbym tak :

- przyrównać podane do \(\displaystyle{ (x^2+ax+1)(x^2+bx+1)(x^2+cx+1)}\) i wyznaczyć (a); (b); (c).

Raczej istnieje łatwiejszy sposób, ale go nie widzę.
Awatar użytkownika
Mariusz M
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 6903
Rejestracja: 25 wrz 2007, o 01:03
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: 53°02'N 18°35'E
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 1246 razy

Rozłóż na czynniki wielomian (max 2 stopnia <=> delta<0)

Post autor: Mariusz M »

\(\displaystyle{ x ^{6} + x ^{3} + 1 = 0}\)

Można też podzielić ten wielomian przez trójmian kwadratowy

\(\displaystyle{ \left( x ^{6} + x ^{3} + 1\right) : \left( x^2+px+q\right)}\)

Następnie resztę z dzielenia tego wielomianu przyrównać do zera
Dostaniesz układ dwóch równań które należy rozwiązać

Dostaniesz do rozwiązania dwa równania czwartego stopnia

Sposób nieco trudniejszy od poprzednika nawet nieco podobny ale powinien doprowadzić do wyniku
Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 428 razy

Rozłóż na czynniki wielomian (max 2 stopnia <=> delta<0)

Post autor: Inkwizytor »

Jeśli chodzi o samo uzasadnienie, że brak rzeczywistych rozwiązań równania \(\displaystyle{ x^6 + x^3 +1 =0}\) to można też tak :

Wszystkie rozważania dla n naturalnych dodatnich

0.) \(\displaystyle{ x^6 + x^3 +1 =0 \Leftrightarrow x^6+1 = -x^3}\)

1.) Niezerowe współczynniki przed wszystkimi \(\displaystyle{ x^n}\) (oraz wyraz wolny) są dodatnie, więc należy szukać ewentualnych rozwiązań w liczbach ujemnych (x=0 odrzucamy bo wyraz wolny jest niezerowy)

2.) Dla każdego \(\displaystyle{ x \in (-1,0)}\) prawdą jest że \(\displaystyle{ |x^n| \in (0,1)}\) czyli \(\displaystyle{ |x^3| < 1 + x^6 \Rightarrow -x^3 \neq 1 + x^6}\) stąd brak rozwiązań naszego równania

3.) \(\displaystyle{ x=-1}\) nie jest rozwiązaniem równania

4.) Dla każdego \(\displaystyle{ x \in (- \infty ,-1)}\) prawdą jest, że \(\displaystyle{ |x^{2n}| > |x^n|}\) czyli \(\displaystyle{ x^6 +1 > |x^3| \Rightarrow 1 + x^6 \neq-x^3}\) stąd brak rozwiązań naszego równania
Awatar użytkownika
izaizaiza
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 208
Rejestracja: 26 wrz 2010, o 17:03
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: Polska
Podziękował: 44 razy
Pomógł: 9 razy

Rozłóż na czynniki wielomian (max 2 stopnia <=> delta<0)

Post autor: izaizaiza »

dzięki za wszystkie odpowiedzi:)
ODPOWIEDZ