Dzisiaj mieliśmy dopiero pierwszą lekcję z wielomianów i pojawiło się na niej twierdzenie dotyczące równości dwóch funkcji wielomianowych.
W związku z tym pytam: w jaki sposób można przeprowadzić dowód twierdzenia:
\(\displaystyle{ \left[ \forall x \in \mathbb{R}: \left(\sum_{k=0}^{n} a_k x^k = \sum_{k=0}^{n} b_k x^k \right) \right] \implies \left(a_i = b_i)}\), dla \(\displaystyle{ i = 0, 1, 2, ..., n \ ?}\)
Widzę, że kładąc \(\displaystyle{ x=0}\) otrzymujemy natychmiast wniosek \(\displaystyle{ a_0 = b_0}\). Nie wiem jednak, w jaki sposób można postępować dalej. Proszę o jakieś wskazówki.
Równość dwóch wielomianów
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Równość dwóch wielomianów
Nie jest to bardzo proste, ale:
Niech \(\displaystyle{ A(x)=\sum_{k=0}^{n} a_k x^k, B(x)=\sum_{k=0}^{n} b_k x^k}\) będą dowolnymi wielomianami, spełniającymi zależność \(\displaystyle{ \forall_{ x \in \mathbb{R}} A(x)=B(x)}\). Rozumiem, ze zakładamy równość stopni tych wielomianów). Możemy ten warunek zapisać równoważnie jako \(\displaystyle{ \forall _{x \in \mathbb{R}} A(x)-B(x)=0}\), co oznacza, ze wielomian \(\displaystyle{ C(x)=A(x)-B(x)}\) jest funkcją zerową. Zauważmy, że \(\displaystyle{ C(x)=\sum_{k=0}^{n}(a_k - b_k) x^k}\); dowód będzie zakończony, jeśli udowodnimy następujące twierdzenie:
Jeżeli wielomian \(\displaystyle{ P(x)=\sum_{k=0}^{p} c_k x^k}\) jest funkcją zerową (tzn. \(\displaystyle{ \forall_{ x \in \mathbb{R}} P(x)=0}\)), to \(\displaystyle{ c_{i}=0}\) dla \(\displaystyle{ i=0,1,2,...,p}\).
Dowód tego twierdzenia nie jest trywialny. Chcesz przez indukcję, czy przez sprzeczność?
Niech \(\displaystyle{ A(x)=\sum_{k=0}^{n} a_k x^k, B(x)=\sum_{k=0}^{n} b_k x^k}\) będą dowolnymi wielomianami, spełniającymi zależność \(\displaystyle{ \forall_{ x \in \mathbb{R}} A(x)=B(x)}\). Rozumiem, ze zakładamy równość stopni tych wielomianów). Możemy ten warunek zapisać równoważnie jako \(\displaystyle{ \forall _{x \in \mathbb{R}} A(x)-B(x)=0}\), co oznacza, ze wielomian \(\displaystyle{ C(x)=A(x)-B(x)}\) jest funkcją zerową. Zauważmy, że \(\displaystyle{ C(x)=\sum_{k=0}^{n}(a_k - b_k) x^k}\); dowód będzie zakończony, jeśli udowodnimy następujące twierdzenie:
Jeżeli wielomian \(\displaystyle{ P(x)=\sum_{k=0}^{p} c_k x^k}\) jest funkcją zerową (tzn. \(\displaystyle{ \forall_{ x \in \mathbb{R}} P(x)=0}\)), to \(\displaystyle{ c_{i}=0}\) dla \(\displaystyle{ i=0,1,2,...,p}\).
Dowód tego twierdzenia nie jest trywialny. Chcesz przez indukcję, czy przez sprzeczność?
Równość dwóch wielomianów
Domyślam się tego, ponieważ w podręczniku Pawłowskiego (o zakresie rozszerzonym) jest podana jego treść wraz z komentarzem "dowód (...) pomijamy".Crizz pisze:Dowód tego twierdzenia nie jest trywialny.
Najchętniej obydwie metodyCrizz pisze:Chcesz przez indukcję, czy przez sprzeczność?
-
Crizz
- Użytkownik
- Posty: 4094
- Rejestracja: 10 lut 2008, o 15:31
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Łódź
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 805 razy
Równość dwóch wielomianów
Dowód (metodą indukcji względem \(\displaystyle{ p}\)):
1.) Początek indukcji: dla \(\displaystyle{ p=0}\) otrzymujemy wielomian \(\displaystyle{ P(x)=c_0}\) i wówczas zachodzi oczywiście \(\displaystyle{ c_0=0}\) (wystarczy podstawić \(\displaystyle{ x=1}\))
2.) Założenie indukcyjne: twierdzenie jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ p=0,1,2,...,k-1}\)
3.) Teza indukcyjna: twierdzenie jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ p=k}\)
4.) Dowód:
Rozważmy wielomian zerowy stopnia \(\displaystyle{ p}\): \(\displaystyle{ P(x)=\sum_{k=0}^{p}c_{k} x^{k}}\). Wielomiany \(\displaystyle{ P(2x),2^{p} \cdot P(x)}\) są oczywiście zerowe, zatem wielomian \(\displaystyle{ Q(x)=P(2x)-2^{p}P(x)}\) jest zerowy. Zauważmy, że \(\displaystyle{ Q(x)=P(2x)-2^{p}P(x)=-2^{k-1} c_{k-1} x^{k-1}-3 \cdot 2^{k-2} c_{k-2}x^{k-2}-...-(1-2^{k})c_{0}}\).
Wielomian \(\displaystyle{ Q(x)}\) jest zerowy i stopnia nie większego, niż \(\displaystyle{ p-1}\), zatem na mocy założenia indukcyjnego jego współczynniki są wszystkie równe zeru. Stąd \(\displaystyle{ c_{p-1}=c_{p-2}=...=c_{0}}\). Wielomian P przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ P(x)=c_{p}x^{p}}\)
w szczególności \(\displaystyle{ P(1)=c_{p}}\) i z założenia, że \(\displaystyle{ P}\) jest zerowy, również \(\displaystyle{ c_{p}=0}\).-- 24 września 2010, 19:28 --Dowód (nie wprost):
Załóżmy, że nie wszystkie współczynniki wielomianu \(\displaystyle{ P(x)=\sum_{k=0}^{p} c_k x^k}\) są równe zeru. Bez straty ogólności można przyjąć, że \(\displaystyle{ c_{p}}\) jest "pierwszym od końca" niezerowym współczynnikiem tego wielomianu (gdyby okazało się, że "pierwszym od końca" niezerowym współczynnikiem tego wielomianu byłby inny współczynnik, to otrzymalibyśmy po prostu wielomian niższego stopnia).
Niech \(\displaystyle{ d}\) będzie dowolnie obraną liczbą większą od następujących liczb: \(\displaystyle{ 1,p,-\frac{c_{0}}{c_{p}},-\frac{c_{1}}{c_{p}},...,-\frac{c_{p-1}}{c_{p}}}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ P \left( d^{2} \right) =0}\) (bo \(\displaystyle{ P}\) jest zerowy). Stąd:
\(\displaystyle{ \frac{P \left( d^{2} \right)}{c_{p}} =\frac{c_{0}}{c_{p}}+\frac{c_{1}}{c_{p}}d^{2}+...+\frac{c_{p-1}}{c_{p}}d^{2(p-1)}+d^{2p}=0}\)
\(\displaystyle{ d^{2p}=-\frac{c_{0}}{c_{p}}-\frac{c_{1}}{c_{p}}d^{2}-...-\frac{c_{p-1}}{c_{p}}d^{2(p-1)}<d+d \cdot d^{2}+...+d \cdot d^{2(p-1)} \le p \cdot d \cdot d^{2(p-1)}= \\ =pd^{2p-1}}\)
Skoro \(\displaystyle{ d^{2p}<pd^{2p-1}}\), to \(\displaystyle{ d<p}\). Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, że \(\displaystyle{ d>p}\), która dowodzi tezy.
Oba dowody pochodzą z mądrej książki (być może nawet p. Pawłowskiego), mam je jednak odbite na kserze i już nie pamiętam, z jakiej.
1.) Początek indukcji: dla \(\displaystyle{ p=0}\) otrzymujemy wielomian \(\displaystyle{ P(x)=c_0}\) i wówczas zachodzi oczywiście \(\displaystyle{ c_0=0}\) (wystarczy podstawić \(\displaystyle{ x=1}\))
2.) Założenie indukcyjne: twierdzenie jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ p=0,1,2,...,k-1}\)
3.) Teza indukcyjna: twierdzenie jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ p=k}\)
4.) Dowód:
Rozważmy wielomian zerowy stopnia \(\displaystyle{ p}\): \(\displaystyle{ P(x)=\sum_{k=0}^{p}c_{k} x^{k}}\). Wielomiany \(\displaystyle{ P(2x),2^{p} \cdot P(x)}\) są oczywiście zerowe, zatem wielomian \(\displaystyle{ Q(x)=P(2x)-2^{p}P(x)}\) jest zerowy. Zauważmy, że \(\displaystyle{ Q(x)=P(2x)-2^{p}P(x)=-2^{k-1} c_{k-1} x^{k-1}-3 \cdot 2^{k-2} c_{k-2}x^{k-2}-...-(1-2^{k})c_{0}}\).
Wielomian \(\displaystyle{ Q(x)}\) jest zerowy i stopnia nie większego, niż \(\displaystyle{ p-1}\), zatem na mocy założenia indukcyjnego jego współczynniki są wszystkie równe zeru. Stąd \(\displaystyle{ c_{p-1}=c_{p-2}=...=c_{0}}\). Wielomian P przyjmuje postać:
\(\displaystyle{ P(x)=c_{p}x^{p}}\)
w szczególności \(\displaystyle{ P(1)=c_{p}}\) i z założenia, że \(\displaystyle{ P}\) jest zerowy, również \(\displaystyle{ c_{p}=0}\).-- 24 września 2010, 19:28 --Dowód (nie wprost):
Załóżmy, że nie wszystkie współczynniki wielomianu \(\displaystyle{ P(x)=\sum_{k=0}^{p} c_k x^k}\) są równe zeru. Bez straty ogólności można przyjąć, że \(\displaystyle{ c_{p}}\) jest "pierwszym od końca" niezerowym współczynnikiem tego wielomianu (gdyby okazało się, że "pierwszym od końca" niezerowym współczynnikiem tego wielomianu byłby inny współczynnik, to otrzymalibyśmy po prostu wielomian niższego stopnia).
Niech \(\displaystyle{ d}\) będzie dowolnie obraną liczbą większą od następujących liczb: \(\displaystyle{ 1,p,-\frac{c_{0}}{c_{p}},-\frac{c_{1}}{c_{p}},...,-\frac{c_{p-1}}{c_{p}}}\). Wiemy, że \(\displaystyle{ P \left( d^{2} \right) =0}\) (bo \(\displaystyle{ P}\) jest zerowy). Stąd:
\(\displaystyle{ \frac{P \left( d^{2} \right)}{c_{p}} =\frac{c_{0}}{c_{p}}+\frac{c_{1}}{c_{p}}d^{2}+...+\frac{c_{p-1}}{c_{p}}d^{2(p-1)}+d^{2p}=0}\)
\(\displaystyle{ d^{2p}=-\frac{c_{0}}{c_{p}}-\frac{c_{1}}{c_{p}}d^{2}-...-\frac{c_{p-1}}{c_{p}}d^{2(p-1)}<d+d \cdot d^{2}+...+d \cdot d^{2(p-1)} \le p \cdot d \cdot d^{2(p-1)}= \\ =pd^{2p-1}}\)
Skoro \(\displaystyle{ d^{2p}<pd^{2p-1}}\), to \(\displaystyle{ d<p}\). Otrzymaliśmy sprzeczność z założeniem, że \(\displaystyle{ d>p}\), która dowodzi tezy.
Oba dowody pochodzą z mądrej książki (być może nawet p. Pawłowskiego), mam je jednak odbite na kserze i już nie pamiętam, z jakiej.
