Rozkład wielomianu na czynniki

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
krystian1863
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 121
Rejestracja: 3 maja 2010, o 17:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 2 razy

Rozkład wielomianu na czynniki

Post autor: krystian1863 »

Witam,

potrzebuję pomocy w rozkładzie wielomianu na czynniki:

\(\displaystyle{ x ^{3} (x ^{2} -7) ^{2} -36x}\)

Rozkład ma się skończyń na iloczynie wielomianów stopnia pierwszego \(\displaystyle{ x(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)(x-3)(x+3)}\). Domyślam się, że można to rozłożyć poprzez twierdzenie o wymiernych pierwiastkach wielomianu, ale wydaje mi się, że to by było jednak za długie, więc potrzebuję innych pomysłów
Awatar użytkownika
Inkwizytor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 4105
Rejestracja: 16 maja 2009, o 15:08
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Poznań
Podziękował: 1 raz
Pomógł: 428 razy

Rozkład wielomianu na czynniki

Post autor: Inkwizytor »

krystian1863 pisze: potrzebuję pomocy w rozkładzie wielomianu na czynniki:

\(\displaystyle{ x ^{3} (x ^{2} -7) ^{2} -36x}\)
\(\displaystyle{ x \cdot [x ^{2} (x ^{2} -7) ^{2} -6^2]=x \cdot [[x \cdot (x ^{2} -7)] ^{2} -6^2]=}\)
Dalej już pójdzie gładko: wzór skróconego mnożenia

[Edit] To chyba efekt zmęczania.... Do rozwiązania wdarł się błąd w jednym miejscu, choć nie wpłynął na sposób podejścia do przykładu
Ostatnio zmieniony 23 wrz 2010, o 07:43 przez Inkwizytor, łącznie zmieniany 1 raz.
krystian1863
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 121
Rejestracja: 3 maja 2010, o 17:23
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Ostrołęka
Podziękował: 14 razy
Pomógł: 2 razy

Rozkład wielomianu na czynniki

Post autor: krystian1863 »

Dziękuję za odpowiedź. Udało mi się między czasie też zrobić, więc przedstawię swoje rozwiązanie, może komuś się przyda.

\(\displaystyle{ x ^{3} (x ^{2} -7) ^{2} -36x=x(x ^{2} (x ^{2} -7) ^{2} -6 ^{2}) =x(x(x ^{2} -7)-6)(x(x^ {2} -7)+6)=x(x ^{3} -7x-6)(x ^{3} -7+6)}\)

Liczby, które mogą być wymiernymi pierwiastkami (a) I i II wyrażenia w nawiasie są takie same.

\(\displaystyle{ a \in \left\{ -6,-3,-2,-1,1,2,3,6\right\}}\)

Ustalamy, że I wyrażenie ma 3 pierwiastki (-2,-1,3) i II wyrażenie ma 3 pierwiastki (-3,1,2) wymierne, wobec tego:

\(\displaystyle{ W(x)=x(x ^{3} -7x-6)(x ^{3} -7+6)=x(x-1)(x+1)(x-2)(x+2)(x-3)(x+3).}\)
ODPOWIEDZ