kłopoty z wielomianami..

[Jagodaaa]

Mam zadania i kompletnie nie wiem jak się do nich zabrać ;(
1.
Sprawdź, że liczba \(\displaystyle{ a}\) jest pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\), i rozłóż ten wielomian na czynniki stopnia pierwszego.
a) \(\displaystyle{ W(x)= 3x^2-35x^2+48x+20, a=10}\)

2.
a)Liczby 2 i -3 są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ ax^3 +bx^2-11x+30}\). Znajdź trzeci pierwiastek tego wielomianu.
b) Liczba 1 jest dwukrotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ x^3 +mx^2-7x+n}\), Znajdź trzeci pierwiastek tego wielomianu.

Będę niesamowicie wdzięczna. !!

[piasek101]

1. Wielomian był inny.

2. Wstawiasz podane liczby (po kolei) i otrzymane przyrównujesz do zera.

[Jagodaaa]

Nie rozumiem sformułowania " rozłóż ten wielomian na czynniki stopnia pierwszego ".

[Crizz]

Na czynniki stopnia pierwszego, czyli każdy z czynników ma być wielomianem pierwszego stopnia. Zacznij od podzielenia tego wielomianu przez \(\displaystyle{ x-a}\)

[loitzl9006]

1.

Tu trzeba podzielić wielomian \(\displaystyle{ W(x)}\) przez \(\displaystyle{ (x-10)}\)
A tu zamiast \(\displaystyle{ 3x ^{2}}\) nie powinno być czasem \(\displaystyle{ 3x ^{3}}\)?

2.
\(\displaystyle{ (x-2)(x+3)(x-c) = ax^3 +bx^2-11x+30}\) gdzie \(\displaystyle{ c}\) to szukany pierwiastek.
Zauważ:
2 jest pierwiastkiem wielomianu (jednokrotnym), a więc wielomian jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-2) ^{1}}\)
-3 jest pierwiastkiem wielomianu (jednokrotnym), a więc wielomian jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x+3) ^{1}}\)
c jest pierwiastkiem wielomianu (jednokrotnym), a więc wielomian jest podzielny przez \(\displaystyle{ (x-c) ^{1}}\)

Jedynka w wykładniku oznacza krotność pierwiastka.

\(\displaystyle{ (x-2)(x+3)(x-c) = ax^3 +bx^2-11x+30}\)
\(\displaystyle{ (x ^{2}+x-6)(x-c) = ax^3 +bx^2-11x+30}\)

\(\displaystyle{ x ^{3}-cx ^{2}+x ^{2} -cx - 6x + 6c = ax^3 +bx^2-11x+30}\)

\(\displaystyle{ 1x ^{3} + (1-c)x ^{2} - (c+6)x + 6c = ax^3 +bx^2-11x+30}\)

Teraz zauważ, że Twoje 1 to a,
1-c to b,
c+6 to 11,
6c to 30.

Na podstawie tego można łatwo zauważyć, że szukanym pierwiastkiem jest \(\displaystyle{ c=5}\).

b)

Rozpisz sobie tak, jak w a), weź poprawkę na krotność wielomianu.

[Jagodaaa]

Dziękuję Wam bardzo!!, a szczególnie Panu loitzl9006, udało mi się rozwiązać przykład b) z tego zadania , czyli wielomiany mogą być przyjemne .

a co do zadania pierwszego, to faktycznie pomyliłam się powinna tam być 3.