działania na pierwiastkach x1, x2, x3 wielomianu W(x)

luigi · Post autor: **luigi** » 7 lis 2006, o 20:25

Liczby x1, x2, x3 są pierwiastkami wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=ax^3+bx^2+cx+d\ \ (a\not= 0)}\). Oblicz:
x1+x2+x3; x1x2+x1x2+x1x3; x1x2x3

Prosze o pomoc

Lorek · Post autor: **Lorek** » 7 lis 2006, o 20:45

a czy w tym 2 nie powinno być \(\displaystyle{ x_1x_2+x_2x_3+x_1x_3}\) ?

help_me;) · Post autor: **help_me;)** » 7 lis 2006, o 20:53

chyba powinno byc \(\displaystyle{ ax^{3}}\).. skorzystaj tutaj z wzorów viete'a dla równania trzeciego stopnia.. Chyba, ze masz normalnie liczyć, zeby dojsc do tych wzorów;P
To wtedy to bedzie tak:
\(\displaystyle{ W(x)=(x-x_{1})(x-x{2})(x-x{3})}\) Teraz mnożysz wszystko i to co Ci wyjdzie czyli \(\displaystyle{ x^{3}+x^{2}(-x_{1}-x_{2}-x_{3})+x^{2}(x_{1}*x_{2}+x_{1}*x_{3}+x_{2}*x_{3})+x_{1}*x_{2}*x_{3}}\) porownujesz ze wspolczynnikami z: \(\displaystyle{ W(x)=ax^{3}+bx^{2}+cx+d}\)
Z tego wynika, że:
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}=-b}\)
\(\displaystyle{ x_{1}*x_{2}+x_{1}*x_{3}+x_{2}*x_{3}=c}\) \(\displaystyle{ x_{1}*x_{2}*x_{3}=-d}\)

Lorek · Post autor: **Lorek** » 7 lis 2006, o 20:57

Zapomniałaś o a w postaci iloczynowej.

help_me;) · Post autor: **help_me;)** » 7 lis 2006, o 21:02

fakt ( moj blad ;P).. no to uwzgledniasz.. jeszcze a.. i potem tak samo porównujesz ;P

wtedy powinno chyba wyjść:
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}=-b/a}\)
\(\displaystyle{ x_{1}*x_{2}+x_{1}*x_{3}+x_{2}*x_{3}=c/a}\)
\(\displaystyle{ x_{1}*x_{2}*x_{3}=-d/a}\)