równanie z parametrem

miodek1 · Post autor: **miodek1** » 19 wrz 2010, o 11:48

Dla jakich wartości parametru \(\displaystyle{ a}\) równanie \(\displaystyle{ x^4 - 6x^3+14x^2 - 2ax +a^2 + 4 =0}\) nie ma rzeczywistych rozwiązań?

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 20 wrz 2010, o 13:51

Dość kłopotliwy rachunkowo wielomian do zbadania.
Polecam Ci artykuł (w języku angielskim) M. Coste, An introduction to semialgebraic geometry, Rennes 2002. Paragraf 1.4 dotyczy ciekawej metody Hermitte'a badania istnienia i liczby pierwiastków wielomianu. Jest ona przydatna szczególnie dla wielomianów z parametrem. By tę moetodę zrozumieć, wystarczy znać elementarne pojęcia z algebry liniowej, m.in. formy kwadratowej.
Oto adres, pod którym się artykuł znajduje .

miodek1 · Post autor: **miodek1** » 20 wrz 2010, o 14:04

a czy nie można graficznie np wziąć funkcję \(\displaystyle{ f(x)=x^4 - 6x^3+14x^2}\)
i \(\displaystyle{ g(x)=- 2ax +a^2 + 4}\)??

lukasz1804 · Post autor: **lukasz1804** » 20 wrz 2010, o 14:17

Hmm, też dobry sposób.
Wymyśliłem na poczekaniu jednak coś jeszcze innego: skoro \(\displaystyle{ 0=x^4 - 6x^3+14x^2 - 2ax +a^2 + 4=x^4-6x^3+9x^2+5x^2-2ax+a^2+4=x^2(x-3)^2+x^2-2ax+a^2+4x^2+4=x^2(x-3)^2+(x-a)^2+4(x^2+1)}\), to na to wygląda, że równanie przy żadnym \(\displaystyle{ a}\) nie ma pierwiastków.

miodek1 · Post autor: **miodek1** » 20 wrz 2010, o 14:19

lukasz1804 pisze:Dość kłopotliwy rachunkowo wielomian do zbadania.
Polecam Ci artykuł (w języku angielskim) M. Coste, An introduction to semialgebraic geometry, Rennes 2002. Paragraf 1.4 dotyczy ciekawej metody Hermitte'a badania istnienia i liczby pierwiastków wielomianu. Jest ona przydatna szczególnie dla wielomianów z parametrem. By tę moetodę zrozumieć, wystarczy znać elementarne pojęcia z algebry liniowej, m.in. formy kwadratowej.
Oto adres, pod którym się artykuł znajduje .

Dzieki czyli tę teorię sobie jednak daruje