znajż pierwiastki i ustal krotności

[wawrys93]

Witam.

\(\displaystyle{ g) (x^2-1)^2(x^6-2x^5+x^4)}\)

\(\displaystyle{ h)(x^3-x^2)(x^6+x^4-x^2-1)}\)


wiec g zrobilem jednak nie zgadza sie z odp

a mianowicie wyszlo mi w g) :
\(\displaystyle{ (x^2-1)(x^2-1)(x-1)^2x^4}\) i krotności

\(\displaystyle{ x=1}\) \(\displaystyle{ x=-1}\) \(\displaystyle{ x=1}\) \(\displaystyle{ x=0}\)
2kr || 2kr || 1 kr || 4 kr

i tak pierwiastek 1 wystepuje 2 razy ale inna krotnosc co z tym zrobic? zapisac jako podwojny?

[lukasz1804]

\(\displaystyle{ (x^2-1)(x^2-1)(x-1)^2x^4}\)

To nie jest postać iloczynowa wielomianu. Tylko z postaci iloczynowej można poprawnie odczytać pierwiastki wielomianu wraz z krotnościami.

[wawrys93]

czyli postac iloczynowa, masz na mysli ze maksymalnie moze byc stopnia 2? jesli mozesz cos napisac to bede wdzieczny

[Konikov]

TeX Ci się zmaścił ;]

g)
Zauważ:
\(\displaystyle{ (x^2 - 1) = (x - 1)(x+1)}\)
\(\displaystyle{ (x^6-2x^5+x^4) = x^4(x^2-2x+1) = x^4(x-1)^2}\)
Więc:
\(\displaystyle{ (x^2-1)^2(x^6-2x^5+x^4) = (x-1)^2(x+1)^2x^4(x-1)^2 = x^4 (x-1)^4 (x+1)^2}\)-- 18 września 2010, 20:25 --Elegancka postać iloczynowa jest bez \(\displaystyle{ x}\) większego stopnia niż 1 w nawiasie. Nie rozwinąłeś \(\displaystyle{ (x^2 - 1)}\).

[wawrys93]

dzięki serdeczne masz soga

pytanie moje "rozwinięcie" tego pierwiastka jest dobre pod wzgledem rownosci z pierwotnym zapisem


innymi slowy jesli nie bedzie tak ja napisales o eleganckiej..

to krotnosci mi nie wyjda?


i pytanie jesli bym zostawil tak

\(\displaystyle{ (x-1)^2(x+1)^2x^4(x-1)^2}\)



i zapisal krotnosci to tez zle?

z tym h sproboje potem pomyslec

dzieki serdeczne

[Konikov]

h) Z pierwszego wyciągnij \(\displaystyle{ x^2}\), w drugim stosujemy trik:
\(\displaystyle{ (x^6+x^4-x^2-1) = (x^4(x^2 + 1) - (x^2+1)) = (x^4 - 1)(x^2 + 1)}\)

\(\displaystyle{ (x^4 - 1) = (x^2 - 1)(x^2 + 1) = (x - 1)(x + 1)(x^2 + 1)}\)

Możesz także rozbić \(\displaystyle{ (x^2 + 1)}\) na pierwiastki, jeśli mieliście liczby zespolone. Ponieważ liczba \(\displaystyle{ i = \sqrt{-1}}\), to tutaj będą 2 pierwiastki zespolone \(\displaystyle{ i}\) oraz \(\displaystyle{ -i}\) (by się przekonać - podstaw ów pierwiastek w to równanie).


Odnośnie pytania:
Generalnie możesz nawet bez rozkładania policzyć pierwiastki i krotności, ale nie jest to wygodne (gdyż sprowadza się do prawie tego samego, tylko w głowie...).

-- 18 września 2010, 20:39 --

Przepraszam za popsucie zabawy z h) ;]

Pewnie, że możesz policzyć (odnośnie g)):
\(\displaystyle{ (x-1)^2}\) - dwa razy \(\displaystyle{ 1}\)
\(\displaystyle{ (x+1)^2}\) - dwa razy \(\displaystyle{ -1}\)
\(\displaystyle{ x^4}\) - cztery razy \(\displaystyle{ 0}\)
\(\displaystyle{ (x-1)^2}\) - dwa razy \(\displaystyle{ 1}\) (ponownie - trzeba dodać poprzednie wystąpienia)

Bez problemu. Po prostu dodajesz później (w końcu \(\displaystyle{ (x-1)^2 * (x-1)^2 = (x-1)^{2+2} \leftarrow}\) tutaj możesz wykonać owe dodawanie)

[wawrys93]

ok dzieki

czy moze sie zdarzyć ze pierwiatek jest 2 krotnosci a zarazem innej? np 4 krotnosci



\(\displaystyle{ (x-1)^2 * (x-1)^2 = (x-1)^{2+2}}\)


tutaj chyba pomieszales cus

chciales zapisac (\(\displaystyle{ x-1)^2(x+1)^2x^4(x-1)^2}\)tylko +2 przy dukrotnym pierwiastku?


jednak chyba to co napisales jest dobrze, ale nie bardzo wiem o co w tym zapisie biega ;]

[lukasz1804]

Krotność jest zawsze podana jednoznacznie. Z definicji liczba p jest k-krotnym pierwiastkiem wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\), gdy wielomian dzieli się przez \(\displaystyle{ (x-p)^k}\), ale nie dzieli się przez \(\displaystyle{ (x-p)^{k+1}}\).

[wawrys93]

ostatecznie w h)

wychodzi

\(\displaystyle{ x^2(x-1)^2(x^2+1)^2(x+1)}\)

a w odp pierwiastki i krotnosci wychodzą
\(\displaystyle{ x=0}\) kr 2

\(\displaystyle{ x=1}\)kr 2

\(\displaystyle{ x=-1}\)kr 1

a z tego rowniania co innego

[Konikov]

Użyłem definicji potęgowania i chciałem Ci zasygnalizować, że na końcu Twojego wzorku znajduje się identyczny nawias jak na początku, więc można zsumować ich potęgi ;]

Miałeś dwa pierwiastki jedynki na początku:
\(\displaystyle{ \underline{(x-1)^2}(x+1)^2x^4(x-1)^2}\)
oraz dwa na końcu:
\(\displaystyle{ (x-1)^2(x+1)^2x^4\underline{(x-1)^2}}\)

\(\displaystyle{ x^2(x-1)^2(x^2+1)^2(x+1)}\)

a w odp pierwiastki i krotności wychodzą
\(\displaystyle{ x=0}\) kr 2

\(\displaystyle{ x=1}\)kr 2

\(\displaystyle{ x=-1}\)kr 1

Te krotności i pierwiastki wynikają BEZPOŚRENIO z powyższego równania ;D Pamiętaj, że \(\displaystyle{ (x^2 + 1)}\) nie ma rzeczywistych pierwiastków (ale ma zespolone).