Równianie kwadratowe na wielomianie

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 14 wrz 2010, o 20:05

Czy to tak się je rozwiązuje?
\(\displaystyle{ 6x ^{3} + 6x ^{2} - 3x -3 = 0}\)
\(\displaystyle{ x(6x ^{2} + 6x - 6) = 0}\)
\(\displaystyle{ x = 0 \vee 6x ^{2} + 6x - 6 = 0}\)
\(\displaystyle{ \Delta = 6 ^{2} - 4 \cdot 6 \cdot (-6) = 36-24 \cdot (-6)=180}\)
i potem jeszcze x1, x2.

Czy to dobrze rozpisałem?

Lbubsazob · Post autor: **Lbubsazob** » 14 wrz 2010, o 20:08

Można prościej.
\(\displaystyle{ 6x^3+6x^2-3x-3=0 \\
6x^2(x+1)-3(x+1)=0 \\
\ldots}\)

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 14 wrz 2010, o 20:12

i potem?
\(\displaystyle{ (x+1)(6x ^{2} -3)=0}\)

Vax · Post autor: **Vax** » 14 wrz 2010, o 20:13

Poza tym, błędnie wyciągnąłeś x przed nawias..

Pozdrawiam.

EDIT// Tak, potem \(\displaystyle{ (x+1)(6x^2-3) = 0}\)

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 14 wrz 2010, o 20:21

a w tych przykładach będzie:
\(\displaystyle{ 2x ^{5} - 18x ^{3} +2x ^{3} -18=0}\)
\(\displaystyle{ 2x ^{3}(x ^{2} -9) +2(x ^{2} -9) =0}\)
\(\displaystyle{ (x ^{2} -9)(2x ^{3} +2)=0}\)

\(\displaystyle{ -5x ^{4}+3x ^{3}+14x ^{2} =0}\)
W tym przykładzie można tylko \(\displaystyle{ x ^{2}}\) wyciągnąć przed nawias?

Vax · Post autor: **Vax** » 14 wrz 2010, o 20:26

W tym 1, jeżeli zamiast \(\displaystyle{ 2x^3}\) jest \(\displaystyle{ 2x^2}\) to tak

A jeżeli chodzi o 2, to:

\(\displaystyle{ -5x^4 + 3x^3 + 14x^2 = -x^2(5x^2-3x-14) = -5x^2(x-2)(x+\frac{7}{5})}\)

Pozdrawiam.

PS. W 1 oczywiście należy jeszcze rozbić pierwszy czynnik.

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 14 wrz 2010, o 20:28

Tak, w pierwszym pomyliłem się.
Co do drugiego to można i i tym moim sposobem rozwiązać?
Rozbić na czynnik, mógłbyś pokazać o co ci chodzi? Nie byłem na lekcji i muszę nadrobić materiał.

Vax · Post autor: **Vax** » 14 wrz 2010, o 20:30

Oczywiście, nie ma znaczenia czy wystawi się \(\displaystyle{ x^2}\) czy \(\displaystyle{ -x^2}\), tylko ważne, żeby pamiętać aby funkcje kwadratową rozbić jeszcze na postać iloczynową

Pozdrawiam.

EDIT//

\(\displaystyle{ x^2-9 = (x+3)(x-3)}\)

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 14 wrz 2010, o 20:36

Czy konieczne jest te rozbicie? Nie można napisać od razu
\(\displaystyle{ x ^{2} -9 = 0}\)
\(\displaystyle{ x=3}\)
?

Vax · Post autor: **Vax** » 14 wrz 2010, o 20:39

Jeżeli chcesz rozbić dany wielomian na czynniki, to dane czynniki muszę być jak najniższych stopni Jak będziesz miał wielomian właśnie w takiej postaci to bez problemu błyskawicznie odczytasz pierwiastki.

Pozdrawiam.

EDIT// Rozwiązałeś to niepoprawnie, 3 nie jest jedynym pierwiastkiem Właśnie o tym mówiłem, jak zamienimy:

\(\displaystyle{ x^2-9=0}\)

na postać iloczynową:

\(\displaystyle{ (x+3)(x-3)=0}\)

To bez problem zauważymy, że pierwiastkiem jest nie tylko 3, ale również -3

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 14 wrz 2010, o 20:39

Jak rozbiję na czynniki to będę miał x=3 i x=-3, a jak moim to tylko x=3. Nie bardzo rozumiem dlaczego?

Vax · Post autor: **Vax** » 14 wrz 2010, o 20:41

Ponieważ źle to rozwiązałeś :

\(\displaystyle{ x^2 - 9 = 0 \Rightarrow x^2 = 9 \Rightarrow \sqrt{x^2} = 3 \Rightarrow |x| = 3 \Rightarrow x = 3 \vee x=-3}\)

Pozdrawiam.

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 14 wrz 2010, o 20:51

Racja, dziękuje.

Vax pisze: \(\displaystyle{ -5x^4 + 3x^3 + 14x^2 = -x^2(5x^2-3x-14) = -5x^2(x-2)(x+\frac{7}{5})}\)

Nie bardzo rozumiem przemianę 3?

Vax · Post autor: **Vax** » 14 wrz 2010, o 20:57

Tzn. tutaj nie chciało mi się rozpisywać i w pamięci wszystko obliczyłem, ale jak chcesz, mogę rozpisać:

\(\displaystyle{ 5x^2-3x-14 = 0}\)

\(\displaystyle{ \Delta = 9 + 280}\)

\(\displaystyle{ \Delta = 289}\)

\(\displaystyle{ \sqrt{\Delta} = 17}\)

\(\displaystyle{ x_1 = \frac{3+17}{10} = 2}\)

\(\displaystyle{ x_2 = \frac{3-17}{10} = -\frac{14}{10} = -\frac{7}{5}}\)

Wiemy, że funkcję kwadratową:

\(\displaystyle{ ax^2+bx+c = 0}\)

mając 2 miejsca zerowe, można zapisać w postaci:

\(\displaystyle{ a(x-x_1)(x-x_2)}\)

zapisujemy postać iloczynową dla naszego przypadku:

\(\displaystyle{ 5x^2-3x-14 = 5(x-2)(x+\frac{7}{5})}\)

I teraz wracamy do naszego wielomianu, który wyglądał tak:

\(\displaystyle{ -x^2(5x^2-3x-14)}\)

I zamieniamy nawias na postać iloczynową, którą przed chwilą wyliczyliśmy

\(\displaystyle{ -5x^2(x-2)(x+\frac{7}{5})}\)

Pozdrawiam.

kamil13151 · Post autor: **kamil13151** » 14 wrz 2010, o 21:04

Aha, dzięki.

Prosiłbym jeszcze o sprawdzenie tego:
\(\displaystyle{ 4x ^{4} -5x ^{2} +1=0}\)
\(\displaystyle{ x ^{2}(4x ^{2} -5) +1=0}\)
\(\displaystyle{ (4x ^{2} -5)(x ^{2}+1)=0}\)

a w tym jak?
\(\displaystyle{ 2x^{5} +5x ^{3} -12x =0}\)