Warunek na a i b...

[mol_ksiazkowy]

Wykaż , ze jesli wielomian \(\displaystyle{ P(x)= x^3+ax+b}\) ma podwójny pierwiastek, to \(\displaystyle{ 4a^3+ 27b^2=0}\) Czy prawdziwe jest też twiedzenie odwrotne...?!

[Candy_Die]

hehehehe to samo zadanie robie teraz )))

ksiązka: Maturaz z Matematyki
Autor: Andrzej Kiełbasa ??????

Zrobie pózniej to to podam

[ariadna]

Załóżmy, że:
\(\displaystyle{ P(x)=x^{3}+ax+b=(x-m)^{2}(x-n)}\)
Po wymnożeniu strony prawej otrzymujemy następujące tożsamości:
1) \(\displaystyle{ -n-2m=0}\), czyli \(\displaystyle{ n=-2m}\)
2) \(\displaystyle{ 2mn+m^{2}=a}\), czyli \(\displaystyle{ a=-3m^{2}}\)
3) \(\displaystyle{ m^{2}n=b}\), czyli \(\displaystyle{ b=-2m^{3}}\)
Wtedy:
\(\displaystyle{ 4a^{3}+27b^{2}=4(-3m^{2})^{3}+27(-2m^{3})^{2}=-108m^{6}+108m^{6}=0}\) c.n.d.
Twierdzenie odwrotne hmm...

[Tomasz Rużycki]

Mozna tez troche porachowac na pochodnych...

[Rogal]

Twierdzenie odwrotne jest prawdziwe, bo warunkiem na pierwiastek podwójny jest zerowanie się wyróżnika takiegoż wielomianu, a ów właśnie wyróżnik jest równy 4a^3 + 27b^2 ; )