Zera wielomianu legendre'a

Własności wielomianów; pierwiastki, współczynniki. Dzielenie wielomianów. Wzory Viete'a. RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI wielomianowe (wyższych stopni). Rozkład na czynniki.
rafal23
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 7 wrz 2010, o 11:06
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: pl

Zera wielomianu legendre'a

Post autor: rafal23 »

Witam.

Jak policzyć miejsca zerowe wielomianu Legendre'a. Przydałby się przykład bo wzory mam ale nic nie rozumiem.
Z góry dziękuję za odpdowiedź.
szw1710

Zera wielomianu legendre'a

Post autor: szw1710 »

Zobacz na wikipedię - będą tam. Poza tym podręczniki analizy numerycznej. A przede wszystkim klasyczna pozycja Polya, Szego "Orthogonal polynomials", może będzie do wglądu na Google books. Jest tam specjalny rozdział o zerach wielomianów ortogonalnych.

Wielomiany Legendre'a to układ wielomianów ortogonalnych na przedziale \(\displaystyle{ [-1,1]}\) względem zwykłego iloczynu skalarnego:

\(\displaystyle{ \langle f,g\rangle=\int_{-1}^1 f(x)g(x)\,dx}\).

Zera wielomianu Legendre'a n-tego stopnia są pojedyncze, jest ich dokładnie \(\displaystyle{ n}\) oraz wszystkie leżą w przedziale \(\displaystyle{ [-1,1]}\), ponadto są rozłożone symetrycznie względem zera (zero zawsze jest pierwiastkiem wielomianu stopnia nieparzystego).
krotka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 136
Rejestracja: 17 paź 2010, o 12:38
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: pl
Podziękował: 12 razy

Zera wielomianu legendre'a

Post autor: krotka »

szw1710 pisze: Zera wielomianu Legendre'a n-tego stopnia są pojedyncze, jest ich dokładnie \(\displaystyle{ n}\) oraz wszystkie leżą w przedziale \(\displaystyle{ [-1,1]}\),
Skąd to wiadomo? Gdzie o tym można przeczytać? W googlach nie jest dostępny podgląda akurat stron, które dotyczą wielomianów Legendre'a. :(
szw1710

Zera wielomianu legendre'a

Post autor: szw1710 »

W podręcznikach analizy numerycznej. Np. dowód można znaleźć w książce Ralstona, jest po polsku. Biblią w dziedzinie wielomianów ortogonalnych jest "Orthogonal polynomials" autorów Polya i Szego.

O... pisałem już o tej książce
krotka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 136
Rejestracja: 17 paź 2010, o 12:38
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: pl
Podziękował: 12 razy

Zera wielomianu legendre'a

Post autor: krotka »

tak tak widziałam że pisałeś o tej książce ale niestety w internecie jest jej "podgląd" ale akurat nie ma możliwości podglądu stron które akurat mnie interesują ale dziękuję za podpowiedz odnośnie książki Ralstona, mam nadzieję że ją gdzieś znajdę! Czy to chodzi o: "Wstęp do analizy numerycznej" - Anthony Ralston?
szw1710

Zera wielomianu legendre'a

Post autor: szw1710 »

Tak, o tę książkę chodzi.
krotka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 136
Rejestracja: 17 paź 2010, o 12:38
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: pl
Podziękował: 12 razy

Zera wielomianu legendre'a

Post autor: krotka »

dziękuję, mam nadzieje że będzie to dla mnie pomocne
szw1710

Zera wielomianu legendre'a

Post autor: szw1710 »

A ja mam nadzieję, że to rzeczywiście tam jest. Nie mam czasu myśleć, ale to twierdzenie nie powinno być trudne w dowodzie. Musi tu ingerować własność ortogonalności.

Kto wie czy czasem nie stosuje się tu \(\displaystyle{ n}\)-krotnie twierdzenie Rolle'a.

Zauważ np., że gdyby wielomian ortogonalny miał stały znak, to w iloczynie z jedynką całka jest dodatnia, a z ortogonalności ma być zero. A więc jest co najmniej jeden pierwiastek.
krotka
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 136
Rejestracja: 17 paź 2010, o 12:38
Płeć: Kobieta
Lokalizacja: pl
Podziękował: 12 razy

Zera wielomianu legendre'a

Post autor: krotka »

niestety nie ma w tej książce tego dowodu:(
ODPOWIEDZ