Wielomian z parametrem m i pierwiastkami x1, x2, x3.
Wielomian z parametrem m i pierwiastkami x1, x2, x3.
Dla jakich wartości parametru m pierwiastki \(\displaystyle{ x_{1} , x_{2}, x_{3}}\), równania \(\displaystyle{ x^3-3x^2-6x+m=0}\) spełniają warunki: \(\displaystyle{ x_{2}=x_{1} \cdot q}\), \(\displaystyle{ x_{3}=x_{1} \cdot q^2}\)? Wyznacz te pierwiastki.
Ostatnio zmieniony 7 lis 2006, o 17:22 przez M-I, łącznie zmieniany 3 razy.
-
Tristan
- Użytkownik
- Posty: 2353
- Rejestracja: 24 kwie 2005, o 14:28
- Płeć: Mężczyzna
- Podziękował: 27 razy
- Pomógł: 557 razy
Wielomian z parametrem m i pierwiastkami x1, x2, x3.
Mamy więc wyznaczyć takie m, dla których pierwiastki tego równania są kolejnymi wyrazami ciągu geometrycznego. Na początek, z wzorów Viete'a dla wielomianu trzeciego stopnia otrzymujemy:
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}=3 \\ x_{1}x_{2}+ x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}=-6 \\ x_{1}x_{2}x_{3}=-m}\)
Skoro \(\displaystyle{ x_{2}=x_{1} \cdot g, x_{3}=x_{1} \cdot q^2}\), to mamy:
\(\displaystyle{ x_{1}(1+q+q^2)=3 \\ x_{1}^2(q+q^2+q^3)=-6 \\ x_{1}^3 \cdot q^3=-m}\)
Pobawmy się pierwszym i drugim równaniem.
Z pierwszego mamy, że \(\displaystyle{ x_{1}=\frac{3}{1+q+q^2}}\). Wstawiając to do drugiego równania, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (\frac{3}{ 1+q+q^2})^2 \cdot (q+q^2+q^3)=-6 \\ \frac{9}{(1+q+q^2)^2} \cdot q(1+q+q^2) \\ \frac{9q}{1+q+q^2}=-6 \\ -9q=6(1+q+q^2) \\ 2q^2 +5q+2=0 \\ q=-2 \vee q=-\frac{1}{2}}\)
Dla \(\displaystyle{ q=-2}\) mamy \(\displaystyle{ x_{1}=1}\). Wtedy, korzystając z równania \(\displaystyle{ x_{1}^3 \cdot q^3=-m}\) otrzymujemy, że\(\displaystyle{ m=8}\).
Dla \(\displaystyle{ q=-\frac{1}{2}}\) mamy \(\displaystyle{ x_{1}=4}\). Wtedy również\(\displaystyle{ m=8}\).
Mamy więc odpowiedź: Dla m=6 pierwiastki naszego równania spełniają warunek narzucony w zadaniu. Łatwo teraz obliczyć, że tymi pierwiastkami są: 1,-2,4.
\(\displaystyle{ x_{1}+x_{2}+x_{3}=3 \\ x_{1}x_{2}+ x_{2}x_{3}+x_{3}x_{1}=-6 \\ x_{1}x_{2}x_{3}=-m}\)
Skoro \(\displaystyle{ x_{2}=x_{1} \cdot g, x_{3}=x_{1} \cdot q^2}\), to mamy:
\(\displaystyle{ x_{1}(1+q+q^2)=3 \\ x_{1}^2(q+q^2+q^3)=-6 \\ x_{1}^3 \cdot q^3=-m}\)
Pobawmy się pierwszym i drugim równaniem.
Z pierwszego mamy, że \(\displaystyle{ x_{1}=\frac{3}{1+q+q^2}}\). Wstawiając to do drugiego równania, otrzymujemy:
\(\displaystyle{ (\frac{3}{ 1+q+q^2})^2 \cdot (q+q^2+q^3)=-6 \\ \frac{9}{(1+q+q^2)^2} \cdot q(1+q+q^2) \\ \frac{9q}{1+q+q^2}=-6 \\ -9q=6(1+q+q^2) \\ 2q^2 +5q+2=0 \\ q=-2 \vee q=-\frac{1}{2}}\)
Dla \(\displaystyle{ q=-2}\) mamy \(\displaystyle{ x_{1}=1}\). Wtedy, korzystając z równania \(\displaystyle{ x_{1}^3 \cdot q^3=-m}\) otrzymujemy, że\(\displaystyle{ m=8}\).
Dla \(\displaystyle{ q=-\frac{1}{2}}\) mamy \(\displaystyle{ x_{1}=4}\). Wtedy również\(\displaystyle{ m=8}\).
Mamy więc odpowiedź: Dla m=6 pierwiastki naszego równania spełniają warunek narzucony w zadaniu. Łatwo teraz obliczyć, że tymi pierwiastkami są: 1,-2,4.
Ostatnio zmieniony 15 lis 2006, o 14:55 przez Tristan, łącznie zmieniany 1 raz.
-
BioXymoron
- Użytkownik
- Posty: 9
- Rejestracja: 12 lis 2006, o 23:45
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Legionowo
Wielomian z parametrem m i pierwiastkami x1, x2, x3.
Mały zonk, bo \(\displaystyle{ m=8}\). Mały błąd na końcu, ale wielkie dzięki za pomoc. Podejrzewam, że wszystkich mających problem z tym zadaniem zmyliło \(\displaystyle{ q}\) w założeniu dla pierwiastków, które występuje w ogólnym równaniu Vietty dla wielomianu 3 stopnia (przynajmniej w tym podręczniku).