Suma współczynników

Kamzor · Post autor: **Kamzor** » 8 wrz 2010, o 00:13

Oblicz sumę wszystkich współczynników wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=(5x^{3}-3x-2)^{10}}\)

Z góry dziękuję

Althorion · Post autor: **Althorion** » 8 wrz 2010, o 00:21

Podpowiedź:
Suma współczynników wielomianu \(\displaystyle{ W(x)}\) jest równa \(\displaystyle{ W(1)}\).

Kamzor · Post autor: **Kamzor** » 8 wrz 2010, o 00:42

Z tego wynika że odpowiedzą jest \(\displaystyle{ 0}\). I słusznie.
A mógłbyś wytłumaczyć/dać link z czego to wynika?

wszamol · Post autor: **wszamol** » 8 wrz 2010, o 00:47

No to chyba logiczne, że jak wstawisz za x jedynkę, to nie zmieni to wartości współczynników, inaczej mówiąc dostajesz "czyste", zsumowane współczynniki.

np. masz \(\displaystyle{ W(x)=ax ^{2}+bx+c}\)

suma współczynników to oczywiście \(\displaystyle{ a+b+c}\) , zaś \(\displaystyle{ W(1)=a+b+c}\), czyli mamy to samo

Kamzor · Post autor: **Kamzor** » 8 wrz 2010, o 00:54

A ta dziesiąta potęga nic nie zmienia?

Althorion · Post autor: **Althorion** » 8 wrz 2010, o 01:07

Nie. \(\displaystyle{ 1^{10}=1}\)

Kamzor · Post autor: **Kamzor** » 8 wrz 2010, o 01:20

Hmm ale czy w potędze \(\displaystyle{ (5x^{3}-3x-2)^{10}}\) nie trzeba pomnożyć współczynników wielokrotnie między sobą?

Mistrz · Post autor: **Mistrz** » 8 wrz 2010, o 11:31

Jakie współczynniki chciałbyś mnożyć? Ten wielomian jest 30. stopnia. Ma 31 współczynników: od \(\displaystyle{ a_0}\) do \(\displaystyle{ a_{30}}\).
Spójrz:
\(\displaystyle{ a_0+a_1+...+a_{30}=a_0\cdot 1^{30}+a_1\cdot 1^{29} + ... +a_{29}\cdot 1 + a_{30} = W(1)=(5\cdot 1^3 - 3\cdot 1 - 2)^{10}=0}\).