Witam, mam do rozwiązania kilka nierówności. Prosiłbym, aby ktoś mnie naprowadził, jak się do tego zabrać
\(\displaystyle{ x(x-2)^{2}(x+1)^{3}<0}\)
\(\displaystyle{ (x-\sqrt{2})^{2}(x-2)^{2}(x+\sqrt{3})\geqslant0}\)
\(\displaystyle{ -2x^{3}(x-1)(x+5)\leqslant0}\)
\(\displaystyle{ x^{4}-4x^{3}+x-4>0}\)
\(\displaystyle{ 12x^{3}-4x^{2}-3x+1\leqslant0}\)
Przekształcenia wielomianów
-
irena_1
- Użytkownik
- Posty: 496
- Rejestracja: 24 sie 2010, o 09:25
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Polska
- Pomógł: 122 razy
Przekształcenia wielomianów
Jeśli masz nierówność w postaci iloczynowej, jak w przykładzie a), to rysujesz oś liczbową i zaznaczasz na niej miejsca zerowe.
W tym wypadku, \(\displaystyle{ x(x-2)^2(x-1)^3=0}\), jeśli x=0 lub x=2 lub x=-1. Czyli na osi zaznaczasz liczby: -1, 0, 2.
Ponieważ współczynnik przy największej potędze x jest dodatni, rysujesz "wężyk" od prawej strony od góry.
Tam, gdzie potęga przy czynniku jest parzysta, tak jak w przypadku \(\displaystyle{ (x-2)^2}\), to w punkcie x=2 następuje "odbicie" (nie przecinasz osi tylko rysujesz znowu do góry).
W przypadku potęgi nieparzystej, jak w przypadku \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ (x+1)^3}\), przecinasz oś.
Czyli "wężyk" wygląda tak: jedziesz od prawej strony od góry do liczby 2 na osi, dalej prowadzisz do góry, później na dół do punktu 0, przecinasz oś, prowadzisz w dół, później w górę do punktu -1, przecinasz oś i jedziesz do góry.
Tam, gdzie "wężyk" jest nad osią, tam spełniona jest "większość", a tam, gdzie jest pod osią, spełniona jest "mniejszość".
W tym wypadku:
\(\displaystyle{ x(x-2)^2(x+1)^3<0\ \Leftrightarrow \ x \in (-1, 0)}\)
W przykładzie b) miejsca zerowe to: \(\displaystyle{ -\sqrt{3}}\), \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i \(\displaystyle{ 2}\).
\(\displaystyle{ (x-\sqrt{2})^2(x-2)^2(x+\sqrt{3}) \ge 0\ \Leftrightarrow x \in <-\sqrt{3};\ \infty )}\)
(tu jest nierówność "nieostra", włączająca równość, czyli miejsca zerowe).
W c) zamień nierówność na przeciwną (podziel przez (-2)).
\(\displaystyle{ x^3(x-1)(x+5) \ge 0}\)
-- 7 wrz 2010, o 16:45 --
w d) trzeba zamienic lewą stronę na iloczyn:
\(\displaystyle{ x^4-4x^3+x-4=x^3(x-4)+(x-4)=(x-4)(x^3+1)=(x-4)(x+1)(x^2+x+1)}\)
Tu miejsca zerowe to 1 i -1, bo \(\displaystyle{ x^2+x+1}\) jest dodatni dla każdej liczby x (sprawdź deltę)-- 7 wrz 2010, o 16:48 --W ostatnim:
\(\displaystyle{ 12x^3-4x^2-3x+1=4x^2(3x-1)-(3x-1)=(3x-1)(4x^2-1)=(3x-1)(2x-1)(2x+1)}\)
Oblicz miejsca zerowe. Powodzenia
W tym wypadku, \(\displaystyle{ x(x-2)^2(x-1)^3=0}\), jeśli x=0 lub x=2 lub x=-1. Czyli na osi zaznaczasz liczby: -1, 0, 2.
Ponieważ współczynnik przy największej potędze x jest dodatni, rysujesz "wężyk" od prawej strony od góry.
Tam, gdzie potęga przy czynniku jest parzysta, tak jak w przypadku \(\displaystyle{ (x-2)^2}\), to w punkcie x=2 następuje "odbicie" (nie przecinasz osi tylko rysujesz znowu do góry).
W przypadku potęgi nieparzystej, jak w przypadku \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ (x+1)^3}\), przecinasz oś.
Czyli "wężyk" wygląda tak: jedziesz od prawej strony od góry do liczby 2 na osi, dalej prowadzisz do góry, później na dół do punktu 0, przecinasz oś, prowadzisz w dół, później w górę do punktu -1, przecinasz oś i jedziesz do góry.
Tam, gdzie "wężyk" jest nad osią, tam spełniona jest "większość", a tam, gdzie jest pod osią, spełniona jest "mniejszość".
W tym wypadku:
\(\displaystyle{ x(x-2)^2(x+1)^3<0\ \Leftrightarrow \ x \in (-1, 0)}\)
W przykładzie b) miejsca zerowe to: \(\displaystyle{ -\sqrt{3}}\), \(\displaystyle{ \sqrt{2}}\) i \(\displaystyle{ 2}\).
\(\displaystyle{ (x-\sqrt{2})^2(x-2)^2(x+\sqrt{3}) \ge 0\ \Leftrightarrow x \in <-\sqrt{3};\ \infty )}\)
(tu jest nierówność "nieostra", włączająca równość, czyli miejsca zerowe).
W c) zamień nierówność na przeciwną (podziel przez (-2)).
\(\displaystyle{ x^3(x-1)(x+5) \ge 0}\)
-- 7 wrz 2010, o 16:45 --
w d) trzeba zamienic lewą stronę na iloczyn:
\(\displaystyle{ x^4-4x^3+x-4=x^3(x-4)+(x-4)=(x-4)(x^3+1)=(x-4)(x+1)(x^2+x+1)}\)
Tu miejsca zerowe to 1 i -1, bo \(\displaystyle{ x^2+x+1}\) jest dodatni dla każdej liczby x (sprawdź deltę)-- 7 wrz 2010, o 16:48 --W ostatnim:
\(\displaystyle{ 12x^3-4x^2-3x+1=4x^2(3x-1)-(3x-1)=(3x-1)(4x^2-1)=(3x-1)(2x-1)(2x+1)}\)
Oblicz miejsca zerowe. Powodzenia