wielomian majacy co najmniej 1 pierwiastek w przedziale(0,1)

[Ambi]

Niech \(\displaystyle{ a_{0},a_{1},...,a_{n}}\) będą liczbami takimi, że
\(\displaystyle{ \frac{a_{n}}{n+1}+\frac{a_{n-1}}{n}+...+\frac{a_{1}}{2}+a_{0}=0}\)
Wykazać, ze wielomian \(\displaystyle{ w(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0}}\) ma conajmniej jeden pierwiastek w przedziale otwartym (0,1).

[g]

rozwaz \(\displaystyle{ v(x) = {a_n \over n+1} x^{n+1} + {a_{n-1} \over n} x^n + ... + a_0 x}\).
oczywiscie \(\displaystyle{ v' = w}\), a \(\displaystyle{ v(0) = v(1) = 0}\). z nigdy nie wiem czyjego twierdzenia pochodna \(\displaystyle{ v}\) sie zeruje na \(\displaystyle{ (0,1)}\) z tego ostatniego faktu. koniec.