\(\displaystyle{ x^{13}+7x^{3}-5=0}\)
jak pokazać, że powyższe równanie ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty?
równanie mająca dokładnie jeden pierwiastek rzeczywity
-
- Użytkownik
- Posty: 3507
- Rejestracja: 20 sie 2006, o 12:58
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Brodnica
- Podziękował: 12 razy
- Pomógł: 1260 razy
równanie mająca dokładnie jeden pierwiastek rzeczywity
Funkcja:
\(\displaystyle{ f(x)=x^{13}+7x^3-5}\)
ma granicę +∞ w +∞ oraz -∞ w -∞.
Ponadto jej pochodna:
\(\displaystyle{ f^'(x)=13x^{12}+21x^2}\)
jest dodatnia (oprócz 0), a więc funkcja stale rosnąca. Oznacz to, że tylko raz przetnie oś OX, a więc ma jedno miejsce zerowe a równanie jedno rozwiązanie.
\(\displaystyle{ f(x)=x^{13}+7x^3-5}\)
ma granicę +∞ w +∞ oraz -∞ w -∞.
Ponadto jej pochodna:
\(\displaystyle{ f^'(x)=13x^{12}+21x^2}\)
jest dodatnia (oprócz 0), a więc funkcja stale rosnąca. Oznacz to, że tylko raz przetnie oś OX, a więc ma jedno miejsce zerowe a równanie jedno rozwiązanie.
-
- Użytkownik
- Posty: 3424
- Rejestracja: 30 sie 2006, o 14:36
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Szczecin
- Podziękował: 2 razy
- Pomógł: 476 razy
równanie mająca dokładnie jeden pierwiastek rzeczywity
funkcja jest 13 stopnia, wiec z odpowiedniego tw posiada 13 pierwiastków zespolonych, z=a+bi, przy czym te pierwiastki wystepuja parami tj:
z1=a+bi to musi tez byc z2=a-bi, wiec musi byc co najmniej jeden postaci z7=a - a to jest pierwiastek rzeczywisty
z1=a+bi to musi tez byc z2=a-bi, wiec musi byc co najmniej jeden postaci z7=a - a to jest pierwiastek rzeczywisty