równanie mająca dokładnie jeden pierwiastek rzeczywity

[Ambi]

\(\displaystyle{ x^{13}+7x^{3}-5=0}\)
jak pokazać, że powyższe równanie ma dokładnie jeden pierwiastek rzeczywisty?

[wb]

Funkcja:

\(\displaystyle{ f(x)=x^{13}+7x^3-5}\)

ma granicę +∞ w +∞ oraz -∞ w -∞.

Ponadto jej pochodna:
\(\displaystyle{ f^'(x)=13x^{12}+21x^2}\)

jest dodatnia (oprócz 0), a więc funkcja stale rosnąca. Oznacz to, że tylko raz przetnie oś OX, a więc ma jedno miejsce zerowe a równanie jedno rozwiązanie.

[sushi]

funkcja jest 13 stopnia, wiec z odpowiedniego tw posiada 13 pierwiastków zespolonych, z=a+bi, przy czym te pierwiastki wystepuja parami tj:

z1=a+bi to musi tez byc z2=a-bi, wiec musi byc co najmniej jeden postaci z7=a - a to jest pierwiastek rzeczywisty

[Ambi]

Treść taka sama tylko równianie takie:
\(\displaystyle{ 3^{x}+4^{x}=5^{x}}\)