pierwiastki wielomianu

[karka92]

Suma wszystkich pierwiastków wielomianu \(\displaystyle{ W(x)=x ^{3} +ax ^{2} +x +c}\) jest równa \(\displaystyle{ 6}\) . Znajdź współczynniki \(\displaystyle{ a}\) i \(\displaystyle{ c}\) wiedząc że, \(\displaystyle{ W(x)}\) jest podzielny przez wielomian \(\displaystyle{ V(x)=x}\)

[Mersenne]

Wykonaj dzielenie najpierw.

[Quaerens]

Wielomian ma tyle pierwiastków, ile równy jest jego stopień. Coś już Ci świta? suma trzech pierwiastków równa się 6, zatem?

[karka92]

próbując dzieleniem wyszlo ze reszta jest c czyli ze c jest równe 0 ? chyba ze zle licze-- 25 sie 2010, o 19:57 --a co do pierwiastkow to nie swita mi za bardzo nic ja robilam na poczatku tak \(\displaystyle{ W(x)=(x-b)(x-d)x}\) ale to raczej nie jest dobrze

[Vax]

Znasz twierdzenie Bezout'a ?

Pozdrawiam.

[lukasz1804]

Ten rozkład Ci pomoże: \(\displaystyle{ W(x)=(x-b)(x-d)x}\). Pierwiastkami są zatem b,d,0 i z założenia wiemy, że \(\displaystyle{ b+d+0=6}\), tj. \(\displaystyle{ b+d=6}\). Co więcej mamy \(\displaystyle{ W(x)=x^3+ax^2+x=x(x^2+ax+1)}\), więc \(\displaystyle{ (x-b)(x-d)=x^2+ax+1}\). Stąd i ze wzoru Viete'a jest \(\displaystyle{ b+d=-a}\), czyli \(\displaystyle{ a=-6}\).

[Mersenne]

Kolejna wskazówka:

Wykorzystaj wzory Viete'a, a dokładniej wzór na sumę pierwiastków równania kwadratowego.

[irena_1]

Dobrze myślisz: jeśli wielomian dzieli się przez x, to c=0. Czyli \(\displaystyle{ W(x)=x^3+ax^2+x=x(x^2+ax+1)}\)
Jednym z pierwiastków tego wielomianu jest równy 0. Suma dwóch pozostałych musi być równa 6.

Ze wzorów Vieta:
\(\displaystyle{ x_1+x_2=-\frac{a}{1}=6\\-a=6\\a=-6}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} a=-6 \\ c=0 \end{cases}}\)

[Vax]

Ona miała do tego sama dojść, a nie dostawać gotowe rozwiązania

Pozdrawiam.

[karka92]

dzekuje wszystkim tak nawiasem ona

[Vax]

Aha, w takim razie przepraszam, będę na przyszłość pamiętał

Pozdrawiam.